🪜 확률과통계 사다리 — 경우의 수10단계

이 한 세트로 경우의 수를 정복합니다. 1단계(쉬움)→10단계(킬러)로, 모두 실제 평가원·교육청 기출(2021~2026). 정답률 내림차순 배치, 각 단계에 풀이·사고흐름·추가질문.
핵심 무기: 순열 ₙPᵣ · 조합 ₙCᵣ · 원순열 (n−1)! · 같은 것이 있는 순열 n!/(p!q!…) · 함수의 개수 · 여사건
🪜 정복 진도 0 / 10 단계
단계마다 '정복' 체크 → 진도 상승

핵심 정리 (먼저 읽기)

핵심: 상황에 맞는 '세는 법'을 고른다. ① 순열 ₙPᵣ / 조합 ₙCᵣ. ② 원순열: n개 원형배열 = (n−1)! (회전은 같게 봄). ③ 같은 것이 있는 순열: n!/(p!q!…). ④ 함수의 개수: 각 정의역 원소가 갈 곳을 곱; 치역 크기·대소 조건은 조합·포함배제. ⑤ '적어도/이상/배수'는 여사건이 빠르다.
역사다리 구성: 쉬운 유형은 적게(입문 1), 어려운 유형일수록 많이(킬러 4) — 고난도 유형 집중 연습.
자주 틀리는 함정 ① 원순열에서 회전(÷n)을 빠뜨림 ② 같은 것 있는 순열에서 중복(÷p!)을 안 나눔 ③ 함수의 치역·대소 조건을 직접 세다 누락 ④ '적어도' 조건을 직접 세다 중복.

사다리 (1단계 → 10단계 · 정답률 80% → 8%)

🟢 입문 층 — 1문항

입문 🟢 2025.06 6월 모평 · 27번 · 정답률 80% · 평가원

🟢 4명 이상 남학생 선택 + 원탁 배열
난이도 중하 · 배점 3점 · 출제의도: 조합 + 원순열 결합
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
남5·여3 중 4명 이상 남학생 포함 5명 선택:
• 남4·여1: ₅C₄·₃C₁ = 5·3 = 15 • 남5·여0: ₅C₅ = 1 → 총 16가지.
선택한 5명을 원탁에 배열 = (5−1)! = 24.
∴ 16 × 24 = 384 → 정답 ①
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
조합+원순열을 잡았다. 다음(기본 층)은 함수의 개수·같은 것이 있는 순열이다.

🟡 기본 층 — 2문항

기본 🟡 2021.09 9월 모평 · 28번 · 정답률 69% · 평가원

🟡 조건을 만족하는 함수의 개수
난이도 중 · 배점 4점 · 출제의도: 함수의 개수 (대소·배수 조건)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
f:{1,…,6}→{1,…,6}. (가) f(3)+f(4)는 5의 배수 → 합 = 5 또는 10. (나) f(1),f(2) < f(3). (다) f(4) < f(5),f(6).
각 (f(3),f(4))에 대해: f(1),f(2)는 각각 f(3)−1가지 → (f(3)−1)², f(5),f(6)는 각각 6−f(4)가지 → (6−f(4))².
(f₃,f₄)(f₃−1)²(6−f₄)²곱
(2,3)199
(3,2)41664
(4,1)925225
(5,5)16116
(6,4)254100
(합=5: (1,4)→0, (4,1) 등 / 합=10 포함) ∴ 9+64+225+16+100 = 414 → 정답 ④
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
함수의 개수를 익혔다. 다음은 같은 것이 있는 순열이다.

기본 🟡 2024.03 3월 학평 · 27번 · 정답률 68% · 교육청

🟡 같은 것이 있는 순열 (A 위치 합 홀수)
난이도 중 · 배점 3점 · 출제의도: 같은 것이 있는 순열 + 홀짝 조건
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
카드 A,A,A,B,B,C,D를 상자 1~7에 한 장씩(같은 문자 구별 X). A가 든 3상자 번호 합이 홀수.
1~7 중 3개 위치 합이 홀수 = (홀1·짝2) + (홀3) = ₄C₁·₃C₂ + ₄C₃ = 12 + 4 = 16.
나머지 4상자에 B,B,C,D 배열 = 4!/2! = 12.
∴ 16 × 12 = 192 → 정답 ③
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
기본 층 완료. 이제 심화 층 — 원순열·같은 것 순열·함수의 심화다.

🟠 심화 층 — 3문항

심화 🟠 2023.10 10월 학평 · 27번 · 정답률 58% · 교육청

🟠 🟠 원순열 + 이웃 서로소
난이도 중상 · 배점 3점 · 출제의도: 원순열 + 서로소(이웃) 조건
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
1~8 원형배열, 이웃한 두 수 서로소.
짝수 2,4,6,8은 서로 이웃하면 공약수 2 → 모두 떨어져야 함 → 홀짝이 교대.
홀수 4개(1,3,5,7) 원형배열 = (4−1)! = 6. 짝수 4개를 홀수 사이 4자리에 배열하되, 6은 3과 이웃 금지(gcd 3) — 나머지 2,4,8은 모든 홀수와 서로소.
6은 3 양옆 2자리를 피해 2자리 중 택1, 나머지 3개 짝수 3! → 2·6 = 12.
∴ 6 × 12 = 72 → 정답 ①
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
원순열+서로소를 정복했다. 다음은 같은 것이 있는 순열 + 대소 조건이다.

심화 🟠 2022.04 4월 학평 · 27번 · 정답률 48% · 교육청

🟠 🟠 공 배열 + 위치 대소 조건
난이도 상 · 배점 3점 · 출제의도: 같은 것이 있는 순열 + 위치 대소 조건
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
공 A,B,B,C,D,D를 상자 1~6에 한 개씩(같은 문자 구별 X). 전체 배열 = 6!/(2!2!) = 180.
(가) 1번 상자 = A 또는 B. (나) B가 든 두 상자 번호 중 적어도 하나가 C가 든 상자 번호보다 작다.
두 조건을 만족하는 경우를 (가)로 1번 상자를 고정하고 (나)를 따지면 80.
※ (가)·(나) 동시 만족 배열을 전수로 세면 80. 같은 문자 중복(÷2!2!)에 주의.
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
같은 것 순열 + 대소를 정복했다. 이제 킬러 층 4문항이다.

심화 🟠 2026.03 3월 학평 · 28번 · 정답률 42% · 교육청

🟠 🟠 값별 개수 지정 함수 + 연속 조건
난이도 상 · 배점 4점 · 출제의도: 함수의 개수 (값별 개수 + 연속 조건)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
f:{1,…,9}→{1,2,4}, 값이 1인 곳 3개·2인 곳 2개·4인 곳 4개 → 같은 것이 있는 순열 9!/(3!2!4!) = 1260.
(나) x≤7에서 f(x)+f(x+1) ≠ f(x+2). {1,2,4}에서 a+b=c 가능 = 1+1=2, 2+2=4 → 연속 (1,1,2), (2,2,4) 패턴 금지.
1260에서 금지 패턴이 나오는 배열을 빼면 930 → 정답 ③
※ 금지 연속패턴 (1,1,2)·(2,2,4) 포함배제. 1260−330=930, 전수 검증.
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
심화 층 완료. 이제 킬러 층 — 원순열·함수·중복순열 최고난도다.

🔴 킬러 층 — 4문항

킬러 🔴 2026.03 3월 학평 · 29번 · 정답률 33% · 교육청

🔴 🔴 흰·검 접시 원형 (교대 + 곱 조건)
난이도 상 · 배점 4점 · 출제의도: 원순열 + 이웃 비이웃 + 곱 조건 (킬러)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
흰{1,3,5,7,9}·검{2,4,6,8,10} 10개 원형배열. (가) 흰끼리 안 이웃 → 5흰5검은 완전 교대.
(나) 이웃 두 수의 곱 ≤ 70. 큰 수 제약: 9·8=72>70, 9·10=90>70 → 9는 8,10과 이웃 불가. 7·10=70(가능), 9·6=54(가능) 등.
교대 배열에서 곱 조건을 만족하는 원형배열(회전 같게)을 세면 864
※ 교대 강제 후 '9는 8·10과 비이웃' 등 곱 조건으로 제한. 회전 제거(접시 1 고정) 후 전수 = 864.
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
원순열 곱조건 킬러를 넘었다. 다음은 함수의 개수 킬러다.

킬러 🔴 2022.04 4월 학평 · 30번 · 정답률 13% · 교육청

🔴 🔴 치역 3 + 함숫값 합 짝수 (킬러)
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 함수의 개수 (치역 크기 + 합 홀짝) (킬러)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
f:{1,…,5}→{1,…,5}. (나) 치역의 원소 3개. (가) f(1)+…+f(5) 짝수.
치역이 정확히 3개인 함수 수 = ₅C₃ × (3원소로의 전사함수 수) = 10 × 150 = 1500.
이 중 함숫값의 합이 짝수인 것 = 720 → 정답 720
※ 치역 크기 3(전사 150) 후, 합의 홀짝으로 분류하면 720. 전수 검증.
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
치역+합 킬러를 넘었다. 다음은 합성함수 치역 킬러다.

킬러 🔴 2022.09 9월 모평 · 30번 · 정답률 12% · 평가원

🔴 🔴 f와 f∘f의 치역 크기 (킬러)
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 함수의 개수 (치역 + 합성함수 치역) (킬러)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
f:{1,…,5}→{1,…,5}. A=f의 치역, B=f∘f의 치역. (가) n(A)≤3, (나) n(A)=n(B), (다) f(x)≠x (모든 x).
n(A)=n(B)는 'f가 치역 A 위에서 일대일처럼 작동'(A의 원소가 다시 A로 단사)을 뜻하고, (다)는 고정점 금지.
n(A)=1,2,3 경우를 (다)·(나) 조건으로 세면 260 → 정답 260
※ n(A)=n(B) ⟺ A→A 제한이 단사. (다) 무고정점. 경우별 전수 = 260.
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
합성함수 치역 킬러를 넘었다. 마지막은 배수 조건 경우의 수 킬러다.

킬러 🔴 2025.03 3월 학평 · 29번 · 정답률 8% · 교육청

🔴 🔴 주사위 곱이 16의 배수 (킬러)
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 중복순열/경우의 수 (소인수 배수 조건) (킬러)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
주사위 4번 a,b,c,d. a·b·c·d가 16=2⁴의 배수 → 2의 지수 합 ≥ 4.
각 눈의 2의 지수: 1,3,5 → 0 / 2,6 → 1 / 4 → 2.
여사건(2의 지수 합 ≤ 3)을 전체 6⁴=1296에서 빼면: 지수 합이 0,1,2,3인 경우를 제외 → 363
※ 각 눈을 2의 지수(0/1/2)로 분류 후 합 ≥4. 여사건 계산 / 전수 검증 = 363.
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
소인수 배수 조건 + 여사건까지 — 경우의 수 킬러의 모든 무기를 갖췄다. 🎉
📮 메모
학생에게 배포 전, 각 단계 풀이를 검토하세요. 모든 정답은 메가스터디 공식 정답·정답률과 대조 검증되었습니다.

확률과통계 역사다리 — 경우의 수 (순열·원순열·같은 것이 있는 순열·함수의 개수) / 2026-07-01 / 실제 기출 + 메가스터디 정답률 + 마스터 출제의도 / 풀이 전수 파이썬 검증