이 한 세트로 정규분포·통계적 추정를 정복합니다. 1단계(쉬움)→7단계(킬러)로, 모두 실제 평가원·교육청 기출(2021~2026). 정답률 내림차순 배치, 각 단계에 풀이·사고흐름·추가질문. 핵심 무기: 표준화 Z=(X−m)/σ · 정규곡선의 대칭성 · 표본평균 X̄~N(m, σ²/n) · 신뢰구간 폭 2·z·σ/√n · 일차변환 Y=aX+b
🪜 정복 진도0 / 7 단계
단계마다 '정복' 체크 → 진도 상승
핵심 정리 (먼저 읽기)
핵심: 정규분포 X~N(m, σ²)는 표준화 Z=(X−m)/σ 로 표준정규분포 N(0,1)로 바꿔 표를 읽는다. 도구 — ① 대칭성: 정규곡선은 평균 m에 대칭, P(X≤m)=½. 'P(X≤a)+P(X≤b)=1'이면 a, b는 m에 대칭. ② 일차변환 Y=aX+b ~ N(am+b, a²σ²). ③ 표본평균 X̄ ~ N(m, σ²/n) (표준편차 σ/√n). ④ 신뢰구간: 신뢰도 95%→z=1.96, 99%→z=2.58, 구간의 폭 = 2·z·σ/√n (√n에 반비례).
표준정규분포표(자주 쓰는 값) — P(0≤Z≤0.5)=0.1915, P(0≤Z≤1)=0.3413, P(0≤Z≤1.5)=0.4332, P(0≤Z≤2)=0.4772, P(0≤Z≤2.5)=0.4938. 자주 틀리는 함정 ① 표준화에서 σ가 아닌 σ²로 나눔 ② 표본평균의 표준편차를 σ/√n로 안 바꿈 ③ Y=aX+b의 분산을 a배(→ a²배여야)로 함 ④ 표 값(0.4772=P(0≤Z≤2) 등)을 구간 위치와 잘못 대응.
사다리 (1단계 → 7단계 · 정답률 62% → 18%)
1단계 🟢
2025.10 10월 학평 · 28번 · 정답률 62% · 교육청
🟢 대칭성으로 m·a 결정 후 표준화
난이도 중 · 배점 4점 · 출제의도: 정규분포의 대칭성으로 미지수 구하기
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
X ~ N(m, (1/2m)²). (1) P(X≤a)+P(X≤a²)=1 → a 와 a² 가 평균 m 에 대칭 → (a+a²)/2 = m, 즉 a²+a = 2m.
(2) P(X≤a²+a)=P(X≤2m)=0.9772 → 표준화 (2m−m)/(1/2m)=2m² = 2 (∵ P(Z≤2)=0.9772) → m²=1, σ>0 이므로 m=1.
a²+a=2 → (a+2)(a−1)=0, a<0 → a=−2. σ=1/(2m)=½.
∴ P(X ≤ −a/8) = P(X ≤ ¼), Z=(¼−1)/½ = −1.5 → 0.5−0.4332 = 0.0668 → 정답 ②
② 사고 흐름 점검
두 확률의 합=1을 '평균 m에 대칭'으로 바꿨나?
0.9772 = P(Z≤2)로 m을 구했나?
σ = 1/(2m) 을 표준화에 정확히 넣었나?
③ 추가 질문
P(X≤a)+P(X≤a²)=1 이 a, a²의 대칭을 뜻하는 이유는?
0.9772, 0.0668은 표의 어떤 값과 연결되는가?
④ 단계 전이 — 다음으로
대칭성 + 표준화의 기본을 잡았다. 다음은 신뢰구간 폭으로 σ·n을 다루는 추정이다.
2단계 🟢
2022.11 수능 · 27번 · 정답률 51% · 평가원
🟢 신뢰구간 폭 → 표본크기 n
난이도 중상 · 배점 3점 · 출제의도: 모평균의 신뢰구간 폭으로 표본크기 구하기
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
n=16, 신뢰도 95% 구간이 746.1 ≤ m ≤ 755.9 → 폭 9.8 = 2·1.96·σ/√16 = 0.98σ → σ=10.
신뢰도 99% 구간의 폭 b−a = 2·2.58·σ/√n = 2·2.58·10/√n = 51.6/√n ≤ 6 → √n ≥ 8.6 → n ≥ 73.96.
∴ 자연수 n의 최솟값 = 74 → 정답 ②
② 사고 흐름 점검
95% 구간의 폭(9.8)으로 σ를 먼저 구했나?
신뢰구간 폭 공식 2·z·σ/√n 을 정확히 썼나?
√n 부등식을 풀어 자연수 최솟값(74)을 취했나?
③ 추가 질문
신뢰구간의 폭과 표본크기 n의 관계는? (√n에 반비례)
95%↔1.96, 99%↔2.58 의 의미는?
④ 단계 전이 — 다음으로
신뢰구간 폭 공식을 정복했다. 다음은 두 정규곡선의 대칭·이동 해석이다.
3단계 🟡
2024.10 10월 학평 · 28번 · 정답률 44% · 교육청
🟡 🟡 두 정규곡선 + 평균 위치 추론
난이도 상 · 배점 4점 · 출제의도: 정규곡선의 대칭성·평균 대소 해석
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
(가) V(X)=V(Y)=1 → 두 정규곡선의 표준편차 1. (나) 수평선 y=k가 만나는 x좌표가 {1,2,3,4} → 각 곡선은 평균에 대칭인 두 점에서 만난다. 가능한 짝: {1,2}(평균 1.5)·{3,4}(평균 3.5), 또는 {1,4}/{2,3}(둘 다 평균 2.5 → 차이 0, 제외), 또는 {1,3}/{2,4}(평균 2,3).
(다) P(X≤2)−P(Y≤2) > 0.5 → X의 평균이 더 작음. {1,2}/{3,4}에서 μ_X=1.5, μ_Y=3.5: P(X≤2)−P(Y≤2)=0.6915−0.0668=0.6247 > 0.5 ✓ (다른 짝은 0.5 미달).
∴ P(X ≥ 2.5)=P(Z ≥ (2.5−1.5)/1)=P(Z≥1)=0.5−0.3413 = 0.1587 → 정답 ②
