이 한 세트로 확률·조건부확률를 정복합니다. 1단계(쉬움)→7단계(킬러)로, 모두 실제 평가원·교육청 기출(2021~2026). 정답률 내림차순 배치, 각 단계에 풀이·사고흐름·추가질문. 핵심 무기: 조건부확률 P(A|B)=P(A∩B)/P(B) · 곱셈정리 · 독립시행 ₙCᵣpʳqⁿ⁻ʳ · 여사건 · 전확률(가중합)
🪜 정복 진도0 / 7 단계
단계마다 '정복' 체크 → 진도 상승
핵심 정리 (먼저 읽기)
핵심: 조건부확률 P(A|B) = P(A∩B) / P(B) — '~일 때'가 분모(조건)다. 자주 쓰는 도구 — ① 독립시행: 확률 p인 사건이 n번 중 r번 = ₙCᵣ pʳ(1−p)ⁿ⁻ʳ. ② 곱셈정리 P(A∩B)=P(A)·P(B|A). ③ 전확률(가중합): 경우를 나눠 (분기 확률 × 분기 내 확률)을 더한다. ④ 여사건: '적어도/이상'은 여사건이 빠르다. 조건부확률 = (조건 ∩ 사건) ÷ (조건). 자주 틀리는 함정 ① 분모를 '조건(B)' 전체가 아닌 표본공간 전체로 둠 ② 독립시행 분기 확률(⅛, ⅞ 등)을 빠뜨림 ③ 홀짝·배수 조건을 '시행 횟수의 홀짝'으로 바꾸지 않음 ④ 곱·합의 홀짝을 '모두 홀수' 같은 동치로 단순화하지 않음.
사다리 (1단계 → 7단계 · 정답률 62% → 7%)
1단계 🟢
2022.07 7월 학평 · 27번 · 정답률 62% · 교육청
🟢 독립시행으로 주머니 분기 + 합이 소수
난이도 중 · 배점 3점 · 출제의도: 독립시행 + 확률의 곱셈법칙으로 확률 구하기
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
동전 3개의 앞면 수 H ~ B(3, ½). H=3 → 주머니 A에서 2장(확률 ⅛), H≤2 → B에서 2장(확률 ⅞).
A={1,1,2,2,3,3}, 2장 합이 소수: C(6,2)=15 중 합2(1,1)=1, 합3(1·2)=4, 합5(2·3)=4 → 9 → 9/15 = 3/5.
B={3,3,4,4,5,5}: 소수 합은 7(3·4)=4뿐(6,8,9,10 비소수) → 4/15.
P = ⅛·⅗ + ⅞·4/15 = 3/40 + 28/120 = 9/120 + 28/120 = 37/120 → 정답 ⑤
② 사고 흐름 점검
동전 앞면 수로 A/B 분기를 독립시행 확률(⅛, ⅞)로 나눴나?
각 주머니에서 '합이 소수'를 조합으로 정확히 셌나?
두 분기를 가중합(전확률)으로 더했나?
③ 추가 질문
P(H=3)을 왜 (½)³로 보는가? (독립시행)
A에서 합이 소수인 경우(2,3,5)를 빠짐없이 나열했나?
④ 단계 전이 — 다음으로
독립시행 + 전확률을 잡았다. 다음은 시행을 여러 번 반복한 뒤의 조건부확률이다.
2단계 🟢
2025.06 6월 모평 · 28번 · 정답률 59% · 평가원
🟢 5번 시행 후 조건부확률 (변수의 홀짝)
난이도 중상 · 배점 4점 · 출제의도: 독립시행을 이용하여 조건부확률 구하기
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
매 시행 A에는 항상 +1 → 5번 후 A=5. '3의 배수'(3,6: 확률 ⅓)가 나온 횟수를 X ~ B(5, ⅓) 라 하면 B = 2X+(5−X) = X+5, C = 5−X.
B가 홀수 ⟺ X가 짝수 (X∈{0,2,4}). A+C = 10−X ≥ 8 ⟺ X ≤ 2.
조건부확률 = P(X∈{0,2}) / P(X∈{0,2,4}). (×3⁵ 한 값) P(0)=2⁵=32, P(2)=C(5,2)·2³=80, P(4)=C(5,4)·2=10.
= (32+80) / (32+80+10) = 112/122 = 56/61 → 정답 ⑤
② 사고 흐름 점검
A,B,C를 X(3의 배수가 나온 횟수)로 표현했나?
'B 홀수'를 'X 짝수'로 바꿨나?
조건부확률 분모를 'B 홀수' 전체로 잡았나?
③ 추가 질문
X가 이항분포 B(5, ⅓)인 이유는?
B=X+5에서 홀짝이 X의 홀짝으로 결정되는 이유는?
④ 단계 전이 — 다음으로
시행 횟수 X로 환원하는 기술을 익혔다. 다음은 '곱·합의 홀짝' 조건부확률이다.
3단계 🟡
2024.07 7월 학평 · 28번 · 정답률 44% · 교육청
🟡 🟡 a·b+c+d 홀수일 때 a,b 모두 홀수
난이도 상 · 배점 4점 · 출제의도: 조건부확률을 활용하여 홀짝 조건 다루기
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
1~9 중 홀수 5개{1,3,5,7,9}, 짝수 4개{2,4,6,8}. a·b+c+d 가 홀수가 되려면 (a·b 홀, c+d 짝) 또는 (a·b 짝, c+d 홀).
구하는 사건 'a, b 모두 홀수'는 a·b가 홀수인 첫 번째 경우에만 해당.
• 분모(조건): a·b+c+d 홀수인 순서쌍 = 1560가지.
• 분자: (a,b 모두 홀수) 즉 (a,b 홀)·(c+d 짝). (a,b)=5·4=20, 남은 7개(홀3·짝4)에서 c+d 짝=같은 홀짝 (홀홀 3·2=6 + 짝짝 4·3=12)=18 → 20·18 = 360.
∴ 360/1560 = 3/13 → 정답 ②
② 사고 흐름 점검
a·b+c+d 홀수를 (a·b)·(c+d)의 홀짝 조합으로 분해했나?
'a,b 모두 홀수'가 a·b 홀수 경우에만 속함을 봤나?
분모를 조건 전체(1560), 분자를 (조건 ∩ 사건)(360)으로 잡았나?
③ 추가 질문
a·b가 홀수일 필요충분조건은? (a, b 둘 다 홀수)
c+d가 짝수가 되는 (c,d)의 홀짝 조건은?
④ 단계 전이 — 다음으로
홀짝 분해 조건부확률을 익혔다. 다음은 수열 조건이 얹힌 조건부확률이다.
4단계 🟠
2023.07 7월 학평 · 28번 · 정답률 29% · 교육청
🟠 🟠 aₖ≤k 최솟값이 3일 때
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 조건부확률 + 수열 조건 해석
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
a₁,…,a₅ 는 1~5의 한 순열. 'aₖ≤k 인 k의 최솟값이 3' ⟺ a₁>1, a₂>2, a₃≤3 (즉 a₁≥2, a₂≥3, a₃≤3).
• 분모(조건)을 만족하는 순열 = 38가지.
• 그 중 a₁+a₂ = a₄+a₅ 를 만족 = 8가지.
∴ 8/38 = 4/19 → 정답 ①
② 사고 흐름 점검
'aₖ≤k 최솟값=3'을 a₁≥2, a₂≥3, a₃≤3 으로 번역했나?
조건을 만족하는 순열(분모 38)을 정확히 셌나?
그 안에서 a₁+a₂=a₄+a₅(분자 8)를 셌나?
③ 추가 질문
'최솟값이 3'이 k=1,2에서는 aₖ>k 여야 함을 의미하는 이유는?
a₁+a₂=a₄+a₅ 는 1~5 합 15에서 a₃를 어떻게 제약하는가?
④ 단계 전이 — 다음으로
수열·순열 조건부확률을 정복했다. 이제 30번 킬러 3종이다.
5단계 🔴
2024.10 10월 학평 · 30번 · 정답률 13% · 교육청
🔴 🔴 점의 이동 + 곱이 홀수 (킬러)
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 조건부확률 (점의 이동 + 곱의 홀짝)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
원점의 점 P. 카드 k를 뽑아(복원) 홀수면 +k, 짝수면 −k 이동. 4번 후 좌표 = Σ.
네 수의 곱이 홀수 ⟺ 네 수 모두 홀수(1 또는 3).
• 분모: 좌표 ≥ 0 인 경우 = 106가지 (4⁴=256 중).
• 분자: 모두 홀수이면서 좌표 ≥ 0 = 16가지.
∴ 16/106 = 8/53 = q/p → p+q = 53+8 = 61
② 사고 흐름 점검
'곱이 홀수 = 네 수 모두 홀수' 동치를 봤나?
좌표 = Σ(홀수 +k, 짝수 −k)로 정확히 계산했나?
분모를 '좌표 ≥ 0' 전체로 잡았나?
③ 추가 질문
곱이 홀수일 필요충분조건은? (모든 인수가 홀수)
복원추출이므로 한 번의 시행이 서로 독립인 이유는?
④ 단계 전이 — 다음으로
점의 이동 + 곱의 홀짝을 정복했다. 다음은 주사위 분기 + 공통 숫자 킬러다.
6단계 🔴
2025.07 7월 학평 · 30번 · 정답률 12% · 교육청
🔴 🔴 주머니 A·B 공통 숫자 + 4가 2장 (킬러)
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 조건부확률 (주사위 분기 + 공통 숫자)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
A={1,2,3,4}, B={2,3,4,5}. 주사위 3의 배수(3,6: ⅓) → A·B에서 각 2장, 아니면(⅔) → A·B 각 1장.
조건: 꺼낸 카드 중 같은 숫자가 있음(A의 패와 B의 패에 공통수 존재). 사건: 숫자 4가 적힌 카드 2장(A·B 둘 다 4).
두 분기를 가중치 ⅓, ⅔로 나누어 (조건 ∩ 사건) ÷ (조건)을 계산하면:
= 9/25 = q/p → p+q = 25+9 = 34 ※ '공통 숫자 존재'(조건)와 '4가 2장'(사건)을 각 분기에서 따로 센 뒤 가중합. 9/25는 전수 검증함.
② 사고 흐름 점검
두 분기(2장/1장)를 가중치 ⅓, ⅔로 나눴나?
'공통 숫자 존재'를 조건(분모)으로 잡았나?
'4가 2장' = A의 패·B의 패에 모두 4 포함임을 봤나?
③ 추가 질문
1장씩 뽑는 분기에서 '공통 숫자'는 무엇을 뜻하는가? (두 장이 같은 수)
2장씩 분기에서 4가 2장이 되려면 A·B에서 각각 무엇이 필요한가?
④ 단계 전이 — 다음으로
분기 + 공통 숫자 조건부확률을 정복했다. 마지막은 카드 뒤집기 종합 킬러다.
7단계 🔴
2022.11 수능 · 29번 · 정답률 7% · 평가원
🔴 🔴 카드 뒤집기 + 보이는 합 짝수 (최고난도)
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 조건부확률 (카드 뒤집기 + 보이는 합의 홀짝)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
위치 k에 앞면 k(뒤=0)인 카드 6장. 주사위 3번, 눈 k면 위치 k 카드를 뒤집음.
3번 후 위치 k 카드는 뒤집힌 횟수가 짝수면 k, 홀수면 0이 보인다. 따라서 보이는 수의 합 = (짝수 번 뒤집힌 위치들의 k 합).
조건: 보이는 합이 짝수. 사건: 주사위 1의 눈이 정확히 한 번.
주사위 3회(6³=216) 전체에서 (조건 ∩ 사건) ÷ (조건)을 계산하면:
= 13/36 = q/p → p+q = 36+13 = 49 ※ 핵심은 '뒤집힌 횟수의 홀짝'이 보이는 값을 결정한다는 것. 13/36과 p+q=49는 6³=216 전수열거로 완전 검증.
② 사고 흐름 점검
카드가 보이는 값을 '뒤집힌 횟수의 홀짝'으로 환원했나?
'보이는 합이 짝수'를 조건(분모)으로 잡았나?
'1의 눈이 정확히 한 번'을 사건(분자)으로 잡았나?
③ 추가 질문
같은 위치를 두 번 뒤집으면 어떻게 되는가? (원상복구 → 앞면)
보이는 합의 홀짝은 어떤 위치들의 합으로 결정되는가?
④ 단계 전이 — 다음으로
카드 뒤집기 + 합의 홀짝 + 조건부확률 — 확률 킬러의 모든 무기를 갖췄다. 🎉
📮 메모
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확률과통계 사다리 — 확률 (곱셈정리·독립시행 → 조건부확률 킬러) / 2026-07-01 / 실제 기출 + 메가스터디 정답률 + 마스터 출제의도 / 풀이 전수 파이썬 검증
