🪜 확률과통계 사다리 — 중복조합7단계

144 = 2⁴ × 3². a, b, c로 소인수를 분배한다.
• 인수 2 (4개) 분배: x+y+z=4 음이 아닌 정수해 → ₃H₄ = ₆C₄ = 15
• 인수 3 (2개) 분배: ₃H₂ = ₄C₂ = 6
전체 순서쌍 = 15 × 6 = 90.
'a 짝수'의 여사건 'a 홀수' = a가 인수 2를 0개 받음 → 2는 b,c에만 ₂H₄=₅C₄=5, 3은 그대로 6 → 30.
∴ (a 짝수) = 90 − 30 = 60 → 정답 ①

곱셈 분해를 중복조합으로 바꾸는 감각을 잡았다. 다음은 '단조증가 함수 = 중복조합' 전환이다.

(가) f(1)≤f(2)≤…≤f(5) 는 '비내림차순 함수 = 값들의 중복조합'.
(가)만: {1,2,3,4}에서 중복 허용 5개 선택 → ₄H₅ = ₈C₃ = 56.
(나) 1과 3을 반드시 사용 → 포함배제(여사건은 '미사용').
• 1 미사용(값 {2,3,4}): ₃H₅ = ₇C₂ = 21
• 3 미사용(값 {1,2,4}): ₃H₅ = 21
• 1·3 모두 미사용(값 {2,4}): ₂H₅ = ₆C₁ = 6
∴ 56 − (21 + 21) + 6 = 20 → 정답 ②

단조증가 + 포함배제를 익혔다. 다음은 식 조건이 붙은 함수 개수다.

(가) f(3) = 2f(1)+2f(2)+f(6)−16. s = f(1)+f(2) 로 두면 f(3) = 2s + f(6) − 16.
제약 1 ≤ f(3) ≤ f(6): 2s+f(6)−16 ≥ 1 이고 2s+f(6)−16 ≤ f(6) → 2s ≤ 16(s≤8) 그리고 f(6) ≥ 17−2s. f(6)≤6 이므로 17−2s ≤ 6 → s ≥ 6. 따라서 s = 6, 7, 8.
각 s에서 f(6) 개수 = 6−(17−2s)+1 = 2s−10, (나)의 f(4),f(5)는 값 폭 m=f(6)−f(3)+1=17−2s 에서 ₘH₂ = C(18−2s, 2).
f(1)+f(2)=s 인 순서쌍 수: s=6→5, s=7→6, s=8→5.

s	(f₁,f₂)	f₆ 개수	(f₄,f₅)	곱
6	5	2	C(6,2)=15	150
7	6	4	C(4,2)=6	144
8	5	6	C(2,2)=1	30

∴ 150 + 144 + 30 = 324 → 정답 ④

식 + 단조 조건의 복합을 처리했다. 다음은 '같은 것이 있는 분배'다.

같은 색은 구별 안 함 → 색마다 (A,B,C)에게 줄 개수의 중복조합.
전체(규칙 제외): 빨1·파1 각 ₃H₁=3, 노3·보3 각 ₃H₃=₅C₂=10 → 3·3·10·10 = 900.
(가) A≥1, B≥1: 포함배제. A=0(빨·파 ₂H₁=2, 노·보 ₂H₃=4): 2·2·4·4 = 64. B=0도 64. A=B=0(모두 C): 1. → 900 − 64 − 64 + 1 = 773.
(나) A의 색 가짓수 ≤ 3 = 'A가 4색 모두 받음'을 제외.
A가 4색 전부 + (가): 빨·파를 A가 받음(각 1가지), 노·보를 A가 1개 이상(10−4=6씩) → 1·1·6·6 = 36. 이 중 B=0(노·보를 A,C에 A≥1: 3씩) 1·1·3·3 = 9 제외 → 36 − 9 = 27.
∴ 773 − 27 = 746 → 정답 ②

분배 + 다중 조건을 익혔다. 다음은 합성·부등식이 얽힌 함수 킬러다.

f(1)=k 라 하면 (가) f(k)=4, (나) f(1)≤f(3)≤f(5).
k=1 이면 f(f(1))=f(1)=1≠4 (불가). k=5 이면 (나)에서 5≤f(3)≤f(5)인데 f(5)=4 모순(불가). → k=2,3,4.
k=2: f(1)=2, f(2)=4 고정. (나) 2≤f(3)≤f(5) → {2,3,4,5}에서 비내림 (f₃,f₅) = ₄H₂=₅C₂=10, f(4) 자유 5 → 10·5 = 50.
k=3: f(1)=3, f(3)=4 고정. (나) 3≤4≤f(5) → f(5)∈{4,5} 2가지. f(2),f(4) 자유 5·5=25 → 2·25 = 50.
k=4: f(1)=4, f(4)=4 고정. (나) 4≤f(3)≤f(5) → {4,5} 비내림 (f₃,f₅)=₂H₂=3, f(2) 자유 5 → 3·5 = 15.
∴ 50 + 50 + 15 = 115

합성함수 + 부등식 분기를 정복했다. 다음은 색·홀짝·배수가 겹친 분배 킬러다.

(나) D=2E → (D, E의 공 개수)=(0,0),(2,1),(4,2). 전체 8개이므로 A+B+C 개수 = 8−(D+E).
(가) A+B+C 합이 홀수:
• (0,0)→8(짝) ✗ • (4,2)→2(짝) ✗ • (2,1)→5(홀) ✓
∴ D는 2개, E는 1개. 색(검4·흰4)을 분배 — D 색(검,흰)=합2, E 색=합1, 나머지를 A·B·C에 (색마다 ₃H):

D(검,흰)	E(검,흰)	검 나머지	흰 나머지	곱
(0,2)	(1,0)	₃H₃=10	₃H₂=6	60
(0,2)	(0,1)	₃H₄=15	₃H₁=3	45
(1,1)	(1,0)	₃H₂=6	₃H₃=10	60
(1,1)	(0,1)	₃H₃=10	₃H₂=6	60
(2,0)	(1,0)	₃H₁=3	₃H₄=15	45
(2,0)	(0,1)	₃H₂=6	₃H₃=10	60

∴ 60+45+60+60+45+60 = 330

배수·홀짝 + 색 분배를 한 번에 처리했다. 마지막은 '일렬 + 이웃 제약' 최고난도다.

각 주머니 공 개수 ∈{0,1,2}, 합 8, 주머니 10개 일렬. 2인 주머니 수 t, 1인 수 o, 0인 수 z → 2t+o=8, t+o+z=10.
(가) o∈{4,6}: o=6 → t=1, z=3 또는 o=4 → t=2, z=4.
(나) 2가 든 주머니의 양 이웃은 0 (끝이면 한쪽만).
[경우 1] o=6, t=1, z=3: '2'를 0으로 격리하고 나머지 1·0을 배열 → 112.
[경우 2] o=4, t=2, z=4: '2' 2개를 각각 0으로 격리하고 1들을 배치 → 150.
∴ 112 + 150 = 262
※ 핵심은 '2-주머니를 0으로 격리'. 경우별 수(112·150)와 합 262는 주머니 10개 전수열거(3¹⁰=59049)로 완전 검증함.

일렬 배치 + 이웃 제약 + 정수 분할까지 — 중복조합 킬러의 모든 무기를 갖췄다. 🎉