🪜 확률과통계 사다리 — 적분법10단계

점 P(t, 2ln(t+1))에서 내린 수선발로 만든 직사각형 OQPR의 넓이 f(t) = t·2ln(t+1).
∫₁³ 2t ln(t+1) dt 를 부분적분(u=ln(t+1), dv=2t dt):
= [t² ln(t+1)]₁³ − ∫₁³ t²/(t+1) dt = (9ln4 − ln2) − ∫₁³ (t−1 + 1/(t+1)) dt.
∫₁³(t−1+1/(t+1))dt = [t²/2 − t + ln(t+1)]₁³ = 2 + ln2.
∴ = 18ln2 − ln2 − (2+ln2) = −2 + 16ln2 → 정답 ③

부분적분 기본을 잡았다. 다음(기본 층)은 역함수 적분·도형이다.

g(x)=f'(2x)sin πx + x. g(0)=0, g(1)=f'(2)sinπ+1=1.
역함수 넓이 관계: ∫₀¹ g⁻¹(x)dx = 1 − ∫₀¹ g(x)dx. ∫₀¹g = J + ½ (J=∫₀¹f'(2x)sinπx dx).
주어진 ∫₀¹g⁻¹ = 2J + ¼ → 1 − (J+½) = 2J + ¼ → J = 1/12.
u=2x 치환: ∫₀² f'(u)sin(πu/2)du = 1/6. 부분적분 → −(π/2)∫₀² f(u)cos(πu/2)du = 1/6.
∴ ∫₀² f(x)cos(πx/2)dx = −1/(3π) → 정답 ③

역함수 적분을 익혔다. 다음은 도형의 거리를 적분하는 문제다.

원 C(중심 O, 반지름 2), A(2,0), B(0,−2). 원 위 x<0인 점 P, ∠PAB=θ. Q(0,2cosθ)에서 직선 BP에 내린 수선발 R, f(θ)=PR.
좌표로 P를 θ로 나타내고(원과 'A에서 각 θ 방향 직선'의 교점, x<0 근), R(=Q의 BP 정사영)을 구해 f(θ)를 세운 뒤 적분하면:
∫_{π/6}^{π/3} f(θ)dθ = (2√3 − 3)/2 → 정답 ①
※ 도형을 좌표화해 f(θ)를 명시하는 것이 핵심. 적분값은 좌표·수치적분으로 검증.

도형 거리 적분을 익혔다. 이제 심화 층 — 역함수·대칭·주기 적분이다.

f(x)=½x²−x+ln(1+x). 점 (s,f(s))에서 y축 수선발 (0,f(s))과 접선의 y절편 (0, f(s)−s f'(s)) 사이 거리 = s f'(s) = t.
f'(s)=s−1+1/(1+s) → t = s·f'(s) = s³/(s+1) (정리). g(t)=s. t=½ → s=1, t=27/4 → s=3.
∫_{1/2}^{27/4} g(t)dt = ∫₁³ s·d(s³/(s+1)) = [s·s³/(s+1)]₁³ − ∫₁³ s³/(s+1)ds = 157/12 + ln2 → 정답 ⑤

접선+역함수 적분을 정복했다. 다음은 대칭·주기 적분이다.

f는 우함수(f(−x)=f(x))이고 주기 2(f(x+2)=f(x)).
∫_{−1}^{5} f(x)·x dx: 주기로 접으면 = ∫_{−1}^1 f(u)(3u+6)du. f·u는 홀함수(적분 0) → = 6∫_{−1}^1 f du = 6·(2·2) = 24.
∫_{−1}^5 f cos2πx dx = 3∫_{−1}^1 f cos2πx dx = 6∫₀¹ f cos2πx dx. 합 = 47/2 → ∫₀¹ f cos2πx dx = −1/12.
I = ∫₀¹ f'(x)sin2πx dx = [f sin2πx]₀¹ − 2π∫₀¹ f cos2πx dx = π/6 → 정답 ①

대칭·주기 적분을 정복했다. 다음은 역함수 넓이 종합이다.

f=ae^{2x}+be^x+c. (가) lim_{x→−∞}(f+6)/eˣ=1 → c=−6, b=1. (나) f(ln2)=0 → 4a+2−6=0 → a=1. ∴ f=e^{2x}+eˣ−6.
g=f⁻¹. f(ln2)=0, f(2ln2)=16+4−6=14 → g(0)=ln2, g(14)=2ln2.
∫₀^{14} g(x)dx = 14·2ln2 − ∫_{ln2}^{2ln2} f(y)dy. ∫(e^{2y}+eʸ−6)dy=[½e^{2y}+eʸ−6y] → (12−12ln2)−(4−6ln2)=8−6ln2.
∴ ∫₀^{14}g = 28ln2 − (8−6ln2) = 34ln2 − 8 = p+q ln2 → p+q = −8+34 = 26

심화 층 완료. 이제 킬러 층 4문항 — 함수 추론 + 정적분 종합이다.

f=ln(g/(1+x f')). 정리하면 g = e^f(1+x f') = e^f + x(e^f)' = (x e^f)′.
F(x)=x e^{f(x)} 라 하면 F'=g. ∫₁²g=34 → F(2)−F(1)=2e^{f(2)}−e^{f(1)}=34. f(1)=4ln2 → e^{f(1)}=16 → e^{f(2)}=25.
구하는 값 ∫₁² x e^{f}dx = ∫₁² F dx = [xF]₁² − ∫₁² x F' dx = [x² e^f]₁² − ∫₁² x g dx.
= (4·25 − 1·16) − 53 = 84 − 53 = 31

미분형 인식 킬러를 넘었다. 다음은 조각함수 + 합성 적분 킬러다.

(가) x<1: f'(x)=−2x+4 → f(x)=−x²+4x−2 (x<1). (나) x≥0: f(x²+1)=ae^{2x}+bx.
x=1에서 f' 연속: f(x²+1) 쪽 우극한 f'(1⁺)=2a (유한하려면 2a+b=0), 좌극한 f'(1⁻)=2 → a=1, b=−2.
x≥1: u=x²+1 → f(u)=e^{2√(u−1)}−2√(u−1).
∫₀⁵f = ∫₀¹(−x²+4x−2)dx + ∫₁⁵f dx. 둘째는 u=√(x−1)(dx=2u du) → ∫₀²(2u e^{2u}−4u²)du = (3/2)e⁴+½−32/3.
합 = (3/2)e⁴ − 21/2 = pe⁴ − q → p+q = 3/2 + 21/2 = 12

조각함수+치환 킬러를 넘었다. 다음은 함수 결정 + 정적분 킬러다.

f=ax²+b (a,b 자연수). g(x)=ln f − (1/10)(f−1). (가) x=0 극소 → b<10. (나) h(t)(직선 y=|g(t)|과 y=|g(x)|의 교점 수)가 불연속인 k가 7개.
∫₀^a eˣf(x)dx = [eˣ(ax²+b−2ax+2a)]₀^a = e^a(a³−2a²+2a+b) − (b+2a) = m e^a − 19.
상수항 비교: b+2a=19, m=a³−2a²+2a+b. (가)(나) 조건을 만족하는 자연수는 a=9, b=1.
∴ m = 729 − 162 + 18 + 1 = 586
※ b+2a=19와 (가)(나)로 (a,b)=(9,1) 확정. 적분 전개는 부분적분으로 검증.

함수 추론+정적분 킬러를 넘었다. 마지막은 적분으로 정의된 함수 최고난도다.

f(x)=∫₀ˣ ln(e^{|t|}−a)dt 는 홀함수. (가) x=ln(3/2) 극값 → f'(ln 1.5)=ln(3/2−a)=0 → a=1/2.
(나) f(−ln1.5)=f(k)/6, f 홀함수 → −f(L)=f(k)/6 → f(k)=−6f(L) (L=ln1.5). f(L)=−v (v>0) → f(k)=6v, f(L)+f(k)=5v.
p=∫₀ᵏ |f'(x)|/(f(x)−f(−k))dx = ∫₀ᵏ |f'|/(f+f(k))dx. (0,L)은 f'<0, (L,k)는 f'>0로 나눠 ln으로 적분:
p = ln(f(k)/(f(L)+f(k))) + ln(2f(k)/(f(L)+f(k))) = ln(2·(6v)²/(5v)²) = ln(72/25).
∴ 100·a·e^p = 100·½·(72/25) = 144

적분으로 정의된 함수 + 로그적분까지 — 적분법 킬러의 모든 무기를 갖췄다. 🎉