🪜 확률과통계 사다리 — 미분법10단계

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (2eᵗ−6e⁻ᵗ)/(2eᵗ+3e⁻ᵗ). u=eᵗ로 두면 = (2u²−6)/(2u²+3).
t₁에서 −1/5: 5(2u²−6)=−(2u²+3) → 12u²=27 → u²=9/4 → u=3/2. 이때 k = 2eᵗ+6e⁻ᵗ = 2u+6/u = 3+4 = 7.
2u+6/u=7 → 2u²−7u+6=0 → u=2 또는 3/2. t₂는 u=2 → m = (2·4−6)/(2·4+3) = 2/11.
∴ k+m = 7 + 2/11 = 79/11 → 정답 ②

매개변수 미분의 기본을 잡았다. 다음(기본 층)은 몫·합성 미분이다.

f는 최고차계수 1인 이차함수, f(3−2k)=f(3) → 축은 x = (3−2k+3)/2 = 3−k.
g=(f+k)/e^f, g' = [f'·e^f − (f+k)e^f·f']/e^{2f} = f'(1−f−k)/e^f.
x=3에서 극대 → g'(3)=0. f'(3)=2(3−(3−k))=2k≠0 → 1−f(3)−k=0 → f(3)=1−k.
g(3)=(f(3)+k)/e^{f(3)} = 1/e^{1−k} = e^{k−1} = e → k=2. 그러면 f(3)=−1, 축 x=1, f(x)=(x−1)²−5.
g(k)=g(2)=(f(2)+k)/e^{f(2)}, f(2)=(1)²−5=−4 → (−4+2)e⁴ = −2e⁴ → 정답 ⑤

몫·지수 미분을 익혔다. 다음은 합성함수 미분(함수방정식)이다.

f(x)+f((1/2)sin x)=sin x. 양변을 x로 미분: f'(x) + f'((1/2)sin x)·(1/2)cos x = cos x.
x=0: f'(0) + f'(0)·(1/2)·1 = 1 → (3/2)f'(0)=1 → f'(0)=2/3.
x=π: (1/2)sin π=0, cos π=−1 → f'(π) + f'(0)·(1/2)(−1) = −1 → f'(π) = −1 + (1/2)(2/3) = −2/3 → 정답 ②

합성함수 미분을 정복했다. 이제 심화 층 — 역함수·음함수다.

f(x)=x³−x. g=ax³+x²+bx+1은 미분가능한 역함수를 가짐(단조증가). h는 0≤x≤1에서 (1/π)sin πx, 그 밖에서 (f∘g⁻¹)(x). h 미분가능.
g(0)=1 → g⁻¹(1)=0. x=1에서: (1/π)sinπ=0이고 미분계수 cosπ=−1. f(g⁻¹(1))/... 의 미분 = f'(0)/g'(0)=−1 → f'(0)=−1, g'(0)=b → b=1.
x=0에서: g⁻¹(0)=t₀, f(t₀)=0 → t₀=−1 (g(−1)=−a+1−b+1=0, b=1 → a=1). 미분: f'(−1)/g'(−1)=2/2=1=cos0 ✓.
∴ a=1, b=1 → g(a+b)=g(2)=8+4+2+1 = 15

역함수+조각함수 미분가능을 익혔다. 다음은 음함수 미분이다.

곡선 x²−2xy+2y²=15. 음함수 미분: 2x−2y−2xy'+4yy'=0 → y' = (x−y)/(2y−x).
A(a,a+k), B(b,b+k)는 직선 y=x+k와 곡선의 교점 → 대입 x²+2kx+(2k²−15)=0, a+b=−2k, ab=2k²−15.
점 (t,t+k)에서 기울기 = (t−(t+k))/(2(t+k)−t) = −k/(t+2k).
A,B 접선 수직: (−k/(a+2k))(−k/(b+2k))=−1 → k² = −(a+2k)(b+2k) = −(ab+2k(a+b)+4k²) = −(2k²−15−4k²+4k²) = 15−2k².
∴ 3k²=15 → k²=5

음함수 미분을 정복했다. 다음은 역함수+극값 최적화다.

f 최고차계수 1 삼차함수, g=f⁻¹. h=(g(x)−k)/(x−k) (x≠k), h(k)=1/3.
연속(x=k) → g(k)=k 이고 극한 g'(k)=1/3. h(0)=1 → (g(0)−k)/(−k)=1 → g(0)=0 → f(0)=0.
g'(k)=1/f'(k)=1/3 → f'(k)=3, f(k)=k. f=x³+px²+qx 로 두면 f'(0)=q. 정리하면 q=k²−1.
f가 역함수를 가지려면(증가) 판별식 ≤0 → 1≤k²≤4. f'(0)=k²−1 최대 → k²=4, k=2. 그러면 f=x³−3x²+3x.
g(9)=3 (f(3)=9), f'(3)=12 → g'(9)=1/12, h(9)=(3−2)/7=1/7, α=k=2.
∴ α·h(9)·g'(9) = 2·(1/7)·(1/12) = 1/42 → 정답 ②

심화 층 완료. 이제 킬러 층 4문항 — 역함수·음함수·도형·조각함수 종합이다.

직각삼각형 ABC(∠B=90°, AB=√3, BC=2), BC를 지름으로 하는 반원. 호 위 P, ∠BAP=θ, 삼각형 ABP 넓이 f(θ).
좌표 B(0,0), A(−√3,0), C(0,2), 반원 중심(0,1) 반지름 1. A에서 각 θ 방향 반직선 위 점 P=A+t(cosθ,sinθ)가 반원 위 → t²−t(2√3cosθ+2sinθ)+3=0. 호 위 점은 큰 근.
넓이 f(θ)=½·AB·(P의 y좌표)=(√3/2)·t·sinθ.
큰 근을 대입해 미분하면 f'(π/6) 계산 → 20 f'(π/6) = 45
※ 두 교점 중 호 위(먼 쪽) 근을 택하는 것이 핵심. 20f'(π/6)=45는 좌표·sympy로 검증.

도형 미분 킬러를 넘었다. 다음은 역함수+합성 종합 킬러다.

f 최고차계수 1 삼차함수, g=f⁻¹(증가). g(x)h(x)=x ln(1+3|g(x)|).
(가) g(k)=0. x≈k에서 ln(1+3|g|)/g ≈ 3·sign(g). h(x)−|g(x)|가 x=k에서 연속이려면 좌·우값 3k=−3k → k=0 → f(0)=0.
미분가능 조건: 우도함수 3−g'(0), 좌도함수 −3+g'(0) → 같음 → g'(0)=3 → f'(0)=1/3.
(나) 4g'(f(1))=3f(1)−4, g'(f(1))=1/f'(1) → 4/f'(1)=3f(1)−4. f=x³+px²+(1/3)x 대입 → 3p²+5p−2=0 → p=1/3 (증가 조건 |p|≤1).
f(x)=x³+⅓x²+⅓x → ∴ f(3)=27+3+1=31

역함수+절댓값 미분가능을 정복했다. 다음은 역함수 합성 킬러다.

f(x)=−(ax³+bx)/(x²+1) (a,b 양수, f'≠0 → 증가). g=f−f⁻¹, h=g∘f.
h(x)=g(f(x))=f(f(x))−f⁻¹(f(x))=f(f(x))−x. f(0)=0 → h(0)=f(f(0))=0.
(가) g(2)=f(2)−f⁻¹(2)=h(0)=0 → f⁻¹(2)=f(2) → f(f(2))=2.
(나) g'(2)=−5h'(2). g'(2)=f'(2)−1/f'(f⁻¹(2)), h'(2)=f'(f(2))f'(2)−1. 두 식을 연립하면 a=1/2, b=3.
∴ 4(b−a)=4(3−½)=10

역함수 합성 킬러를 넘었다. 마지막은 조각·주기 구조 극한 킬러다.

f: (0,1]에서 2ˣ−1, (1,2]에서 4·(½)ˣ−1, 그리고 f(x+2)=−½f(x). g(x)=lim_{h→0+}[f(x+h)−f(x−h)]/h = f'₊(x)+f'₋(x).
정수 n에서 식을 정리하면 lim_{t→0+}{g(n+t)−g(n−t)}+2g(n) = 4·f'₊(n) (우미분계수의 4배).
우미분계수: f'₊(2k)=(−½)ᵏ ln2, f'₊(2k+1)=(−½)ᵏ·(−2)ln2.
이것이 ln2/2²⁶가 되려면(=ln2/2²⁴ ÷4): 짝수 n=2k → (−½)ᵏ=2⁻²⁶ → k=26 → n=52. 홀수 n=2k+1 → −(−1)ᵏ2^{1−k}=2⁻²⁶ → k=27 → n=55.
∴ 모든 n의 합 = 52+55 = 107
※ 핵심: 식 전체가 4f'₊(n)으로 압축됨. 부호·지수 조건으로 n=52, 55만 해. 손풀이·수치 검증 완료.

조각·주기 + 대칭미분 극한까지 — 미분법 킬러의 모든 무기를 갖췄다. 🎉