🪜 확률과통계 사다리 — 수열의 극한·급수10단계

이 한 세트로 수열의 극한·급수를 정복합니다. 1단계(쉬움)→10단계(킬러)로, 모두 실제 평가원·교육청 기출(2021~2026). 정답률 내림차순 배치, 각 단계에 풀이·사고흐름·추가질문.
핵심 무기: 등비급수 Σarⁿ⁻¹=a/(1−r) (|r|<1) · 망원급수(부분분수) · 도형 등비급수(닮음비²=넓이비) · 수렴조건 |r|<1 · 극한함수 분기
🪜 정복 진도 0 / 10 단계
단계마다 '정복' 체크 → 진도 상승

핵심 정리 (먼저 읽기)

핵심: 등비급수 Σ_{n=1}^∞ a rⁿ⁻¹ = a/(1−r) (단 |r|<1; '첫항/(1−공비)'). 도구 — ① 망원급수: 1/n − 1/(n+2) 꼴로 묶어 소거. ② 도형 등비급수: 닮은 도형이 반복 → 넓이비 = (닮음비)²인 등비급수. ③ 수렴조건 |공비|<1. ④ |aₙ| 분기: 절댓값·부호로 경우를 나눔. ⑤ 극한함수 f(x)=lim x^{2n}… 은 |x|>1, |x|<1, |x|=1로 분기.
역사다리 구성: 쉬운 유형은 적게(입문 1), 어려운 유형일수록 많이(킬러 4) — 고난도 유형을 집중 연습.
자주 틀리는 함정 ① 급수 수렴 위해 일반항→0(상수항=0)을 안 맞춤 ② 닮음비와 넓이비(제곱) 혼동 ③ |r|<1 조건 누락 ④ 극한함수에서 |x|=1 경계점 누락.

사다리 (1단계 → 10단계 · 정답률 75% → 11%)

🟢 입문 층 — 1문항

입문 🟢 2022.06 6월 모평 · 27번 · 정답률 75% · 평가원

🟢 수렴조건 → 망원급수의 합
난이도 중 · 배점 3점 · 출제의도: 급수의 수렴조건 + 망원급수
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
첫째항 4인 등차수열 aₙ=4+(n−1)d. aₙ/n = d + (4−d)/n, (3n+7)/(n+2)=3 + 1/(n+2).
일반항 = (d−3) + (4−d)/n − 1/(n+2). 급수가 수렴하려면 상수항 d−3=0 → d=3.
그러면 일반항 = 1/n − 1/(n+2) (망원급수). Σ = (1 + ½) = 3/2 → 정답 ③
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
수렴조건+망원급수를 잡았다. 다음(기본 층)은 도형 등비급수다.

🟡 기본 층 — 2문항

기본 🟡 2022.09 9월 모평 · 27번 · 정답률 61% · 평가원

🟡 도형 등비급수 (∨자 삼각형)
난이도 중 · 배점 3점 · 출제의도: 등비급수로 도형의 넓이
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
직사각형 4×1, 두 대각선 교점 E₁(중심). A₂D₁=D₁E₁, ∠A₂D₁E₁=90° → 직각이등변삼각형(빗변 다리 = D₁E₁=√17/2).
S₁ = 두 삼각형 넓이 = 2·½·(√17/2)² = 2·17/8 = 17/4.
다음 직사각형은 닮음비 3/4 → 넓이비 (3/4)² = 9/16.
∴ ΣSₙ = (17/4)/(1 − 9/16) = (17/4)/(7/16) = 68/7 → 정답 ③
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
도형 등비급수의 기본을 잡았다. 다음도 도형 등비급수(다른 구성)다.

기본 🟡 2022.07 7월 학평 · 27번 · 정답률 53% · 교육청

🟡 🟡 도형 등비급수 (교점·이등분)
난이도 중상 · 배점 3점 · 출제의도: 등비급수로 도형의 넓이 (교점·길이비)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
직사각형 A₁B₁C₁D₁ (B₁C₁=2, A₁B₁=1). 좌표 B₁(0,0),C₁(2,0),D₁(2,1),A₁(0,1), E₁(1,1).
F₁ = B₁D₁(y=x/2) ∩ C₁E₁(x+y=2) = (4/3, 2/3). G₁E₁=G₁F₁ 인 G₁ = (2/3, 1/3).
S₁ = △C₁D₁F₁ + △G₁F₁E₁ = 1/3 + 1/6 = 1/2.
다음 직사각형 닮음비 = 2/5 → 넓이비 (2/5)² = 4/25.
∴ ΣSₙ = (1/2)/(1 − 4/25) = 25/42 → 정답 ②
※ 교점 F₁·G₁을 좌표로 구해 S₁=1/2, 닮음비 2/5를 확정. 좌표로 검증.
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
도형 등비급수 두 유형을 익혔다. 이제 심화 층 — 수렴조건·절댓값 분기다.

🟠 심화 층 — 3문항

심화 🟠 2026.05 5월 학평 · 28번 · 정답률 46% · 교육청

🟠 🟠 (b−a)(b−|a|)=0 분기 + 부분급수
난이도 상 · 배점 4점 · 출제의도: 등비급수 + 절댓값 분기 추론
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
공비 −½ 등비수열 aₙ, (가) (bₙ−aₙ)(bₙ−|aₙ|)=0 → bₙ=aₙ 또는 |aₙ|. (나) Σ_{n=k}^∞(a_{2n+1}+b_{2n+1})=0 의 최소 k=2.
a_{2n+1}=a(¼)ⁿ. n≥2에서 항=0이려면 b=|a| 즉 a_{2n+1}<0 → a<0. n=1 항 = 2a₃≠0 → b₃=a₃.
b₁−b₃=3a₃+5 → b₁=a+5, b₁=|a₁|=−a → a=−5/2.
Σbₙ = (짝수항 Σaₙ) + (b₁+b₃+Σ_{홀≥5}|a|) = 5/3 + 25/12 = 15/4 → 정답 ⑤
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
절댓값 분기 등비급수를 익혔다. 다음은 절댓값 합 조건이다.

심화 🟠 2025.07 7월 학평 · 29번 · 정답률 44% · 교육청

🟠 🟠 |aₙ+1| 합 조건 → Σaₙ
난이도 상 · 배점 4점 · 출제의도: 등비급수 + 절댓값 합
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
첫째항 자연수 A, 공비 −½ 등비수열. |aₙ+1|−aₙ−1 은 aₙ≥−1이면 0, aₙ<−1이면 −2(aₙ+1).
음수항(n 짝수) 중 aₙ<−1인 것만 기여. A=24: a₂=−12, a₄=−3 (<−1), a₆=−0.75 (>−1) → 2개.
Σ = (4A/3)(1 − 4⁻²) − 2·2 = 30 − 4 = 26 ✓ → A=24 확정.
∴ Σaₙ = A/(1−(−½)) = 24/(3/2) = 16
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
절댓값 합 조건을 정복했다. 다음은 정수항·수렴조건 종합이다.

심화 🟠 2025.09 9월 모평 · 29번 · 정답률 34% · 평가원

🟠 🟠 정수항 3개·곱 216 → 급수의 합
난이도 상 · 배점 4점 · 출제의도: 등비급수 수렴조건 + 정수항 추론
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
첫째항 양수, 공비 유리수, 급수 수렴(|r|<1). (가) a₁+a₂<10, (나) 정수항 3개의 곱 216.
세 정수항이 등비 → 가운데 항 = ∛216 = 6. 양옆 6/r, 6r 도 정수 → r=−2/3: 정수항 −9, 6, −4 (곱 216).
첫째항 양수: a₁ = a₂/r = −9/(−2/3) = 27/2, a₁+a₂ = 27/2 − 9 = 9/2 < 10 ✓.
∴ Σaₙ = (27/2)/(1−(−2/3)) = (27/2)/(5/3) = 81/10 = q/p → p+q = 91
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
심화 층 완료. 이제 킬러 층 4문항 — 극한함수·절댓값·수렴조건 종합이다.

🔴 킬러 층 — 4문항

킬러 🔴 2022.03 3월 학평 · 29번 · 정답률 24% · 교육청

🔴 🔴 극한함수 f(x)와 교점 수 g(t)
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 극한으로 정의된 함수 + 불연속 (킬러)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
f(x)=lim (2x^{2n+1}−1)/(x^{2n}+1) = 2x (|x|>1), −1 (|x|<1), f(1)=½, f(−1)=−3/2.
직선 y=tx−2 (점 (0,−2) 통과)와 만나는 점의 수 g(t).
각 구간(x<−1의 y=2x, −11의 y=2x)과 고립점 (1,½),(−1,−3/2)에 대해 교점 수를 t로 따지면, g(t)가 불연속인 t = −1, −½, 0, 1, 2, 5/2, 4 (7개).
∴ m=7, a_m=4 → m × a_m = 28
※ 극한함수를 |x|>1, |x|<1, |x|=1로 분기. 불연속 7개·a_m=4는 정밀 계산·검증.
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
극한함수 킬러를 넘었다. 다음은 등비급수 수렴조건 종합이다.

킬러 🔴 2024.07 7월 학평 · 29번 · 정답률 21% · 교육청

🔴 🔴 두 등비수열의 수렴 결합
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 등비급수 수렴 + 절댓값 + 공비 결정 (킬러)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
첫째항 1, 공비 r, 급수 수렴(|r|<1). Σ(20a_{2n}+21|a_{3n−1}|)=0 → 20r/(1−r²) + 21|r|/(1−|r|³)=0 → r<0.
s=|r|: 20s³−21s²+1=0 → (s−1)(20s²−s−1)=0 → s=¼ → r=−¼.
bₙ 등비, Σ(3|aₙ|+bₙ)/aₙ = Σ(3·sign(aₙ) + bₙ/aₙ) 수렴 → 항→0 → bₙ/aₙ = −3·sign(aₙ) → b₁=−3, 공비 ¼.
Σbₙ = −3/(1−¼) = −4. ∴ b₁ × Σbₙ = (−3)(−4) = 12
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
두 등비수열 결합 킬러를 넘었다. 다음은 절댓값 분기 + 수렴 킬러다.

킬러 🔴 2025.05 5월 학평 · 30번 · 정답률 15% · 교육청

🔴 🔴 삼중항 계수 소거 + 분기 (킬러)
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 등비급수 수렴조건(계수 소거) + 분기 (킬러)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
양수 등비 aₙ (=a·rⁿ⁻¹). bₙ=(−1)ⁿ (aₙ<1), aₙ (aₙ≥1).
(가) Σ(3b_{3n−2}−7b_{3n−1}+2b_{3n}) 수렴. 꼬리에서 aₙ≥1이면 삼중항 = a_{3n−2}(2r²−7r+3). 수렴하려면 2r²−7r+3=0 → r=3 (r=½은 꼬리가 (−1)ⁿ라 발산).
(나) b₅²=b₄b₆−9/4. a₄=a·27, a₅=a·81, a₆=a·243. a₄<1, a₅,a₆≥1로 두면 a₅²=a₆−9/4 → a₅=3/2 → a=1/54.
∴ a₃ = a·9 = 1/6 → 90a₃ = 15
※ 수렴의 열쇠는 삼중항 계수 2r²−7r+3=0 (r=3). (나)로 a=1/54 확정. 검증 완료.
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
계수 소거 수렴 킬러를 넘었다. 마지막은 절댓값 분기 + 부분급수 킬러다.

킬러 🔴 2023.06 6월 모평 · 30번 · 정답률 11% · 평가원

🔴 🔴 bₙ 분기 + 홀·짝 부분급수 (킬러)
난이도 최상 · 배점 4점 · 출제의도: 등비급수 + 절댓값 분기 + 홀짝 부분급수 (킬러)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: (    )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
등비수열 aₙ, bₙ=−1 (aₙ≤−1), aₙ (aₙ>−1). (가) Σb_{2n−1}=−3, (나) Σb_{2n}=8, b₃=−1.
홀수항 음수·짝수항 양수가 되려면 a<0, r<0. 짝수항 Σ=ar/(1−r²)=8, 홀수항은 a₁,a₃ 클리핑(−1).
a r⁴/(1−r²) = −1 과 ar/(1−r²)=8 → 8r³=−1 → r=−½, a/(1−r²)=8/r=−16 → a=−12.
∴ Σ|aₙ| = |a|/(1−|r|) = 12/(1−½) = 24
② 사고 흐름 점검
③ 추가 질문
④ 단계 전이 — 다음으로
절댓값 분기 + 부분급수까지 — 수열·급수 킬러의 모든 무기를 갖췄다. 🎉
📮 메모
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미적분 역사다리 — 수열의 극한·급수 (등비급수·급수의 합) / 2026-07-01 / 실제 기출 + 메가스터디 정답률 + 마스터 출제의도 / 풀이 전수 파이썬 검증