🪜 수학 공통 사다리 — 정적분 (넓이·정적분으로 정의된 함수)6단계

핵심 정리 (먼저 읽기)

핵심 1) 기본정리: d/dx∫₀ˣf(t)dt=f(x). 정적분으로 정의된 함수 g는 미분해서 도함수를 환원하는 게 출발. 핵심 2) 넓이: 두 그래프 사이 넓이=∫(위−아래). 접하는 교점은 차 함수에 (x−α)² 인수가 생긴다. 핵심 3) 적분방정식(∫이 식에 섞임): 양변을 x로 미분(필요하면 두 번)해서 f의 미분방정식·식으로 바꾼다. 핵심 4) g의 극값/부호: g'(x)를 인수분해해 부호변화 지점을 본다. '극값을 갖지 않는다'=g'이 부호를 바꾸지 않는다(중근·상쇄). 자주 틀리는 함정 ① ∫₀ˣt²f(t)dt를 미분할 때 x²f(x)로 (상한 대입) 처리 ② 넓이에서 위·아래 뒤바뀜 ③ 절댓값 구간 분리 누락 ④ 적분상수(초기값 g(0)=0 등) 빠뜨림.

사다리 (1단계 → 6단계)

1단계 🟡 2207 20번 · 2022학년도 7월 학평 정답률 56% 정복

🟡 정적분으로 정의된 함수 g (디딤돌)

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

g'(x)=2x∫₀ˣf+x²f(x)−x²f(x)=2x∫₀ˣf(t)dt=2x·F(x). g'=0의 근이 0,3 → F(3)=0. g가 극값 없음 → g'=2x²(x−3)(x−r)이 부호 불변 → r=3 → F=x(x−3)². f=F'=3(x−1)(x−3). ∫₀³|f|: ∫₀¹f=F(1)=4, ∫₁³f=F(3)−F(1)=−4 → ∫₀³|f|=4+4=8.
→ 정답 8 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• ∫₀ˣt²f dt를 미분하면 x²f(x)임을 써서 g'=2x∫₀ˣf로 정리했나?
• '극값 없음'을 g'이 부호를 안 바꾼다(중근)로 해석했나?
• ∫|f|를 부호 구간으로 나눠 계산했나?

③ 추가 질문

• d/dx∫₀ˣf(t)dt=? (f(x))
• g'이 부호를 바꾸지 않으려면 (x−3)(x−r)은? (r=3, 중근)

④ 단계 전이 — 다음으로

기본정리·환원을 익혔다. 다음은 그래프 사이 넓이.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 8 — sympy: f=3(x−1)(x−3) → ∫₀³|f|=8 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

2단계 🟡 2209 20번 · 2022학년도 9월 모평 정답률 55% 정복

🟡 두 그래프로 둘러싸인 넓이 (디딤돌)

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

g=4|x|+k(V자, k<0). 좌측(x<0) 교점은 항상 1개(증가함수), 우측은 접할 때만 1개 → 총 2개는 k=−3(x=1에서 접). 교점 x=−1, x=1. S=∫_{−1}^0(f+4x+3)+∫_0^1(f−4x+3)=19/12+13/12=8/3. 30S=80.
→ 정답 80 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• g=4|x|+k를 x≥0, x<0로 나눴나?
• 교점 2개 조건을 '한쪽이 접한다'로 봤나? (접점 → 중근)
• 넓이를 두 구간으로 나눠 위−아래로 적분했나?

③ 추가 질문

• 접하는 교점에서 차 함수는 어떤 인수? ((x−α)²)
• V자 그래프와 삼차함수의 교점 개수는 어떻게 세나? (구간별)

④ 단계 전이 — 다음으로

넓이의 기본을 잡았다. 여기서부터 변별·킬러 — ∫f로 정의된 함수의 성질을 깊게 본다.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 80 — sympy: k=−3, 넓이 적분 → 30S=80 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

3단계 🟠 2306 20번 · 2023학년도 6월 모평 정답률 35% 정복

🟠 ∫f의 부등식·최소

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

g=∫₀ˣf. 'x≥1서 g(x)≥g(4)' → x=4가 최소 → f(4)=0. '|g(x)|≥|g(3)|' → g(3)이 0에 가장 가까움 → g(3)=0. f=(x−4)(x−s), g(3)=∫₀³f=0 → s=6/5. f(9)=(9−4)(9−6/5)=5·(39/5)=39.
→ 정답 39 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• g(x)≥g(4)를 'x=4가 g의 최소(f(4)=0)'로 옮겼나?
• |g(x)|≥|g(3)|를 'g(3)=0'으로 해석했나?
• f=(x−4)(x−s)에 g(3)=0을 적용했나?

③ 추가 질문

• g(x)≥g(4)이면 x=4는 g의? (최솟점 → f(4)=0)
• |g|의 최소가 0이면 그 점에서 g는? (0)

④ 단계 전이 — 다음으로

∫f의 성질을 다뤘다. 다음은 ∫이 식에 섞인 적분방정식.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 39 — sympy: f=(x−4)(x−6/5), g(3)=0 → f(9)=39 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

4단계 🟠 2310 20번 · 2023학년도 10월 학평 정답률 33% 정복

🟠 적분방정식 — 미분으로 환원

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

∫₀ˣ(x−t){f(x)+f(t)}dt를 펼치면 식이 (1/2)x²f(x)=3∫₀ˣ(x−t)f(t)dt로 정리. 양변 두 번 미분 → 4xf'+x²f''=4f. f=ax^n 대입 → n(n+3)=4 → n=1 → f=ax. f'(2)=a=4 → f=4x. f(6)=24.
→ 정답 24 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• ∫(x−t){f(x)+f(t)}를 f(x)∫(x−t)dt + ∫(x−t)f(t)dt로 분리했나?
• 상수처럼 빠지는 f(x)를 밖으로 빼고 양변을 미분했나?
• 두 번 미분해 f의 차수를 결정(n=1)했나?

③ 추가 질문

• ∫₀ˣ(x−t)f(t)dt를 한 번 미분하면? (∫₀ˣf(t)dt)
• 적분방정식의 정석은? (양변 미분)

④ 단계 전이 — 다음으로

적분방정식을 정복했다. 다음은 |f| 포함 정적분 함수의 '극값 없음' 킬러.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 24 — sympy: 적분항등식 성립 확인, f=4x → f(6)=24 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

5단계 🔴 2103 22번 · 2021학년도 3월 학평 정답률 20% 정복

🔴 정적분 + 절댓값 (극값 없음)

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

g'(x)=(x²−4){|f(x)|−a}. 극값 없음 → x=±2의 (x²−4) 부호변화를 {|f|−a}가 상쇄 → |f(±2)|=a. f 일차 → f(x)=mx(c=0), a=2|m|. g'=|m|(x²−4)(|x|−2)≥0(부호 불변). g(2)=|m|·20/3=5 → |m|=3/4. g(0)−g(−4)=|m|·64/3=16.
→ 정답 16 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• g'이 부호를 안 바꾸려면 (x²−4)의 부호변화(±2)를 {|f|−a}가 상쇄해야 함을 봤나?
• |f(±2)|=a에서 f가 원점 지나는 일차함수(c=0)임을 끌어냈나?
• g(2)=5로 |m|을 정했나?

③ 추가 질문

• x²−4는 어디서 부호가 바뀌나? (x=±2)
• 그 점들을 |f(x)|−a가 0으로 만들려면? (|f(±2)|=a)

④ 단계 전이 — 다음으로

|f| 포함 극값 조건을 다뤘다. 마지막은 정적분+미분 종합 킬러.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 16 — sympy: f=(3/4)x, g(2)=5 → g(0)−g(−4)=16 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

6단계 🔴 2204 22번 · 2022학년도 4월 학평 정답률 14% 정복

🔴 정적분 + 미분 — 극값 위치 [목표]

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

g'(x)=f'(x+a)·f'(x−a). f' 의 근을 p,q라 하면 g'의 근은 {p−a, q−a, p+a, q+a}. 극값이 x=1/2, 13/2 두 곳뿐 → 두 근이 겹쳐 중근(q−a=p+a) → 단순근 p−a=1/2, q+a=13/2 → a=3/2, p=2, q=5. f'=3(x−2)(x−5), f(0)=−1/2 → f=x³−21x²/2+30x−1/2. f(1)=20 → a×f(1)=30.
→ 정답 30 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• g'(x)=f'(x+a)f'(x−a)의 근 4개를 p,q,a로 적었나?
• 극값이 2곳뿐 → 근 2개가 겹쳐 중근(부호 안 바뀜)임을 봤나?
• 단순근 = 극값 위치(1/2, 13/2)로 a,p,q를 연립했나?

③ 추가 질문

• g'=f'(x+a)f'(x−a)가 0이 되는 x는? (f'의 근에서 ±a 평행이동)
• 극값이 4개가 아니라 2개면 근들은? (두 개가 겹쳐 중근)

④ 단계 전이 — 다음으로

🎉 기본정리·넓이·적분방정식·|f|·극값 위치까지 — 정적분 킬러 완전 정복!

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 30 — sympy: g'의 극점 {1/2,13/2} 확인 → a×f(1)=30 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

수학 공통 사다리 · 정적분(넓이·정적분으로 정의된 함수) · 2026-07-01 / 고3 기출(미적 시험지 공통문항) · 정답·정답률·출제의도 AnswerKey master 대조(풀이 신규 작성+정답 검증) / jpg 정본