이 한 세트로 공통 21·22번의 '연속·미분가능' 변별·킬러를 정복합니다. 1단계(쉬움)→7단계(킬러)로, 같은 아이디어의 기출을 정답률 순(쉬움→어려움)으로 세워 디딤돌을 만듭니다. 각 단계에 자세한 풀이·사고 흐름·추가 질문. 핵심 무기: 꺾이는 점에서 좌·우 미분계수 일치, |h|는 h=0에서 꺾임(상쇄·중근으로 매끄럽게), 극한 f/(x−a) 유한 ⇒ f(a)=0·극한=f'(a), f(k)=2k²&f'(k)=4k ⇒ y=2x²에 접함, 그래프 개형으로 해의 개수 관리.
🪜 정복 진도0 / 7 단계
단계마다 '정복' 체크 → 진도 상승
핵심 정리 (먼저 읽기)
핵심 1) 미분가능의 본질: 곱·절댓값·조각함수가 '꺾일 수 있는 점'에서 좌미분계수=우미분계수여야 한다. 핵심 2) 절댓값: |h(x)|는 h=0인 곳에서 꺾인다 — 다른 인수가 0이거나(상쇄) 그 근이 중근이면 매끄럽다. 핵심 3) 극한·미분계수: lim_{x→a}f(x)/(x−a)가 유한이면 반드시 f(a)=0이고 그 값은 f'(a). 핵심 4) 접함: f(k)=2k²이고 f'(k)=4k이면 y=f가 포물선 y=2x²에 x=k에서 접한다. 핵심 5) 개형: 극대·극소값으로 f(x)=k 해의 개수를 센다. 자주 틀리는 함정 ① 꺾이는 점을 한 곳만 보고 다른 곳(다른 근·접합점) 누락 ② 연속만 보고 미분계수 일치를 빠뜨림 ③ 극한 유한 조건에서 f(a)=0을 안 씀 ④ 단순근/중근 구분 실수.
사다리 (1단계 → 7단계)
1단계 🟢 2110 7번 · 2021학년도 10월 학평 정답률 94%
🟢 곱의 미분가능 — 꺾인 점
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
f(x)=|x+3|는 x=−3에서 꺾임. 곱 f(x)g(x)가 x=−3에서 미분가능하려면 그 점에서 g(x)=0이어야 함(꺾인 인수에 0을 곱해 매끄럽게): g(−3)=2(−3)+a=0 → a=6. ③. → 정답 ③ (a=6) (공식 정답표 대조 완료)
② 사고 흐름 점검
|x+3|의 미분 불가능점(x=−3)을 찾았나?
그 점에서 g=0이면 곱이 미분가능해짐을 알았나?
좌·우 미분계수를 비교해 확인했나?
③ 추가 질문
절댓값함수 |x+3|의 꺾인 점은? (x=−3)
거기서 곱이 매끄러우려면 다른 인수는? (0이어야)
④ 단계 전이 — 다음으로
미분가능의 '꺾인 점' 감각을 잡았다. 다음은 극한으로 함수 자체를 복원.
⑤ 검산·크로스체크 ✅
정답 ③ (a=6) — 꺾인점 x=−3에서 g=0 조건 → a=6 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
정답 ④ (f(3)=14) — sympy: f=2x²−x−1이 두 극한 조건 만족 → f(3)=14 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
3단계 🟠 2506 21번 · 2025학년도 6월 모평 정답률 44%
🟠 |f|/f의 부호·극한 존재
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
|f|/f=부호함수(x=1,2에서 ±1 점프). g·(|f|/f)의 극한이 x=1,2에서 존재 → g(1)=g(2)=0. 둘째 극한 |g−f|/g 존재 → g의 다른 실근 없음(허근) + x=1,2에서 상쇄 조건 → g=(x−1)(x−2)(x²−3x+3). g(−1)=(−2)(−3)(7)=42. → 정답 42 (공식 정답표 대조 완료)
② 사고 흐름 점검
|f(x)|/f(x)가 부호함수라 x=1,2에서 점프함을 봤나?
극한 존재 → g(1)=g(2)=0을 끌어냈나?
둘째 극한에서 g의 추가 실근 불가·상쇄 조건을 적용했나?
③ 추가 질문
|f(x)|/f(x)는 어떤 함수? (부호함수 ±1)
점프를 없애려면 g는 그 점에서? (0)
④ 단계 전이 — 다음으로
부호·연속을 결합했다. 다음은 도함수·그래프 개형으로 사차함수 결정.
⑤ 검산·크로스체크 ✅
정답 42 — sympy: g=(x−1)(x−2)(x²−3x+3) → g(−1)=42 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
4단계 🟠 2406 21번 · 2024학년도 6월 모평 정답률 36%
🟠 도함수·개형 — 사차함수 결정
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
'f'(a)≤0인 a의 최대=2' → f'의 최대근=2, f'(1)=0도 → f'=4(x−1)(x−2)(x−r). 두 극솟값 f(r),f(2) 중 큰 값이 '해 3개 이상 주는 최소 k=8/3'. f(2)=−8r/3 → r<0이면 f(2)가 더 큰 극솟값=8/3 → r=−1. f(0)=0으로 f(x)=x⁴−(8/3)x³−2x²+8x. f(3)=81−72−18+24=15. → 정답 15 (공식 정답표 대조 완료)
② 사고 흐름 점검
'f'(a)≤0의 최대 a=2'를 f'의 최대근=2로 옮겼나?
'f(x)=k가 3개 이상' 최소 k를 '더 큰 극솟값'으로 해석했나?
f(0)=0으로 적분상수를 정했나?
③ 추가 질문
사차함수에서 f(x)=k가 해 3개를 갖기 시작하는 k는? (더 높은 극솟값)
f'(a)≤0의 최대 a는 f'의 무엇? (가장 큰 근)
④ 단계 전이 — 다음으로
그래프 개형·극값을 다뤘다. 다음은 미분계수 정의로 '접함' 조건.
⑤ 검산·크로스체크 ✅
정답 15 — sympy: f 재구성(극솟값·개형 확인) → f(3)=15 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
정답 81 — sympy: f=(x²−9)²+2x²(최소 17) → f(4)=81 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
6단계 🔴 2503 22번 · 2025학년도 3월 학평 정답률 22%
🔴 조각함수 미분가능 — 꺾임 상쇄
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
x=0에서 연속·미분가능 → f(0)=4, f'(0)=0. x=2에서 −|2x²−8|가 꺾임(미분계수 점프 ±16) → |f|도 x=2에서 꺾여 상쇄해야 → f(2)=0, |f'(2)|=8. x≥0에서 추가 부호변화 근이 있으면 안 됨(추가 꺾임 금지) → f=−x³+x²+4 (유일 실근 x=2, 나머지 허근). f(−5)=125+25+4=154. → 정답 154 (공식 정답표 대조 완료)
② 사고 흐름 점검
x=0에서 연속·미분가능으로 f(0)=4, f'(0)=0을 얻었나?
x=2의 |2x²−8| 꺾임을 |f|의 꺾임(f(2)=0)으로 상쇄했나?
x≥0에서 '다른 부호변화 근 없음'(추가 꺾임 금지)을 강제했나?
③ 추가 질문
|2x²−8|는 어디서 꺾이나? (x=2)
그 꺾임을 없애려면 |f|는? (x=2에서 같은 크기 꺾임 → f(2)=0, |f'(2)|=8)
미분가능하려면 x≥0에서 f의 추가 부호변화 근은? (없어야)
④ 단계 전이 — 다음으로
꺾임 상쇄를 정복했다. 마지막은 도함수(평균변화율) 부호로 극점을 잡는 최고난도.
⑤ 검산·크로스체크 ✅
정답 154 — sympy: f=−x³+x²+4 미분가능 조건 확인 → f(−5)=154 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
7단계 🔴 2306 22번 · 2023학년도 6월 모평 정답률 10%
🔴 평균변화율 부호 — 극점 포함 [목표]
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
조건의 두 평균변화율(secant) 곱<0 = 구간 (k,k+3/2)에서 f가 비단조 = 그 구간이 f의 극점을 내부에 포함. f'=x(3x−4a) → 극점 x=0, x=4a/3. 0을 포함하는 정수 k는 항상 k=−1. 4a/3을 포함하는 정수 k들. 전체 정수 k의 곱=−12를 만족하는 정수 a를 찾으면 a=−2 (k∈{−1,−3,−4}, 곱 −12). f=x³+4x² → f'(x)=3x²+8x → f'(10)=300+80=380. → 정답 380 (공식 정답표 대조 완료)
② 사고 흐름 점검
'두 secant 곱<0'을 'f가 그 구간에서 비단조(극점 포함)'로 번역했나?
극점 0을 포함하는 k(=−1)와 4a/3을 포함하는 k를 모두 모았나?
정수 k들의 곱=−12로 a를 역으로 찾았나?
③ 추가 질문
secant 기울기의 부호가 서로 다르면 그 구간의 f는? (증가·감소 둘 다 → 극점 존재)
f=x³−2ax²의 극점은? (x=0, x=4a/3)
④ 단계 전이 — 다음으로
🎉 곱의 미분·극한·부호·접함·꺾임 상쇄·평균변화율까지 — 연속·미분가능 킬러 완전 정복!
⑤ 검산·크로스체크 ✅
정답 380 — 구간이 극점 포함 조건 → a=−2 → f'(10)=380 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
📮 피드백
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수학 공통 사다리 · 함수의 연속성·미분가능성 · 2026-07-01 / 고3 기출(미적 시험지 공통문항) · 정답·정답률·출제의도 AnswerKey master 대조(풀이 신규 작성+정답 검증) / jpg 정본
