🪜 수학 공통 사다리 — 수열 (∑·일반항·귀납적 정의)9단계

핵심 정리 (먼저 읽기)

핵심 1) ∑↔일반항: n≥2에서 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁, a₁=S₁. 핵심 2) 귀납적 정의는 aₙ₊₁이 조건(부호·패리티·크기)에 따라 갈리므로, 앞으로 전개할 땐 '경우 분기', 끝값이 주어지면 '거꾸로(역추적)'가 정석. 핵심 3) 조각수열 합은 직접 표로 부분합 Sₘ을 적어보고, 합이 0으로 리셋되면 나중 구간에서 다시 조건에 들어올 수 있음에 주의. 자주 틀리는 함정 ① n의 의미(현재 항 번호) 혼동 ② '정확히 한 개' 같은 개수 조건을 끝까지 안 씀 ③ 역추적에서 분기 한쪽만 보고 다른 분기 누락 ④ 부분합이 구간을 한 번 지났다고 끝이라 착각(주기 재진입).

사다리 (1단계 → 9단계)

1단계 🟢 2509 16번 · 2025학년도 9월 모평 정답률 96% 정복

🟢 귀납적 정의 — 직접 대입 (디딤돌)

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① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

a₁=1, a_{n+1}=n·a_n+2. n=1: a₂=1·a₁+2=1+2=3. n=2: a₃=2·a₂+2=2·3+2=8.
→ 정답 8 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• a_{n+1}의 n은 '현재 항의 번호'임을 확인했나?
• a₁→a₂→a₃ 순서대로 대입했나?

③ 추가 질문

• a₃를 구하려면 n을 어디까지 대입? (n=1,2)
• 계수 n이 매 단계 달라짐을 반영했나?

④ 단계 전이 — 다음으로

단순 대입을 익혔다. 다음은 ∑과 일반항을 잇는 빈칸 추론.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 8 — 코드로 수열 직접 전개 → a₃=8 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

2단계 🟢 2511 20번 · 2025학년도 수능 정답률 70% 정복

🟢 ∑↔일반항 — 빈칸 추론 (디딤돌)

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① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

a_{n+1}=S_{n+1}−S_n 계산 → (가)=n/3=f(n), 정리하면 ㉠ 2a_n+a_{n+1}=n. S_n식에 n=2 대입 → a₂=10=p(나). ㉠을 n=2k+1에 쓰면 2a_{2k+1}+a_{2k+2}=2k+1 → (다)=a₁+a₂+Σ_{k=1}^5(2k+1)=7+10+35=52=q. f(12)=4 → p×q/f(12)=10·52/4=130.
→ 정답 130 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• S_{n+1}−S_n=a_{n+1} 정의를 썼나?
• S_n식의 적용 범위(n≥2) 안에서 n=2를 대입했나?
• Σ를 (2a_{2k+1}+a_{2k+2}) 꼴로 재배열했나?

③ 추가 질문

• S_n과 a_n의 관계식은? (a_n=S_n−S_{n−1}, n≥2)
• ㉠로 2a_{2k+1}+a_{2k+2}를 한 번에 얻을 수 있나?

④ 단계 전이 — 다음으로

기본기를 잡았다. 여기서부터는 변별·킬러 — 같은 아이디어를 반복 연습한다.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 130 — sympy로 Sₙ→aₙ 환원 후 Σ 재계산 → 130 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

3단계 🟡 2603 20번 · 2026학년도 3월 학평 정답률 57% 정복

🟡 조각수열 합 — 구간·주기 함정

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① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

5의 배수에서 a_n=−4n+10(음수)이라 부분합이 S₅=S₁₀=S₁₅=…=0으로 리셋. 사이클 j의 부분합은 5j+1,10j+3,15j+6,20j+10. 20≤S_m<30 드는 m: m=8(21), m=12(23), 그리고 나중 사이클에서 5j+1이 다시 진입 → m=21(21), m=26(26). 합=8+12+21+26=67.
→ 정답 67 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• 5의 배수 항의 부호(음수)를 반영했나?
• S₅=S₁₀=…=0(리셋)을 확인했나?
• 합이 구간을 한 번 지났다고 끝내지 않고 '재진입'을 봤나?(함정)

③ 추가 질문

• 부분합이 0으로 리셋되면 이후 어떤 일이? (다시 구간에 들어올 수 있음)
• 각 사이클의 부분합을 일반식으로 적었나?

④ 단계 전이 — 다음으로

구간·주기 함정을 넘었다. 다음은 ΣS_k와 정수 조건이 결합된 등차 변별.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 67 — 코드로 부분합 Sₘ 전수 계산(주기 재진입 포함) → 만족 m 합=67 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

4단계 🟠 2309 21번 · 2023학년도 9월 모평 정답률 32% 정복

🟠 등차수열 — ΣS_k + 정수 조건

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

Σ_{k=1}^7 S_k=Σ(k a₁+ k(k−1)/2·d)=28a₁+56d=644 → a₁+2d=23(=a₃). a₇=a₁+6d=23+4d가 13의 배수 → 23+4d≡0(mod13) → d≡4(mod13). 모든 항 자연수(a₁=23−2d≥1 → d≤11) → d=4, a₁=15. a₂=15+4=19.
→ 정답 19 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• ΣS_k를 Σ(k·a₁ + k(k−1)/2·d)로 전개했나?
• 계수 Σk=28, Σk(k−1)/2=56을 정확히 구했나?
• a₇=13의 배수 + 자연수 조건으로 d를 하나로 좁혔나?

③ 추가 질문

• S_n=n a₁+ n(n−1)/2·d 전개를 썼나?
• a₁+2d=23은 어떤 항? (a₃)

④ 단계 전이 — 다음으로

등차 ΣS·정수 조건을 연습했다. 다음은 패리티(홀짝)로 갈리는 역추적 킬러.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 19 — (a₁,d) 전수 탐색으로 조건 만족 유일해 → a₂=19 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

5단계 🔴 2507 22번 · 2025학년도 7월 학평 정답률 29% 정복

🔴 패리티 분기 — a₆=6 역추적

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

a₆는 a₄의 패리티로 갈림. (i) a₄ 짝수: a₆=½a₄=6→a₄=12(유일한 짝수)→a₂,a₃,a₅ 홀수. a₂+a₃=12(둘 다 홀), a₃ 홀이면 a₁ 짝이라 a₁=2a₃ → a₁∈{2,6,10,14,18,22}. (ii) a₄ 홀수: a₆=a₅+a₄=6, a₅=6−a₄ 홀수 → a₃이 유일한 짝수 → a₁=4. 모든 a₁의 합=72+4=76.
→ 정답 76 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• a₆를 a₄의 패리티로 두 경우로 나눴나?
• '짝수 정확히 1개' 조건으로 나머지 항의 홀짝을 확정했나?
• a₃을 a₁의 패리티로 역추적했나?

③ 추가 질문

• a_{n+2}가 a_n의 홀짝으로 갈린다 — 거꾸로 a_n 후보는?
• '정확히 한 개가 짝수'를 끝까지 적용했나?

④ 단계 전이 — 다음으로

패리티 역추적 1제. 다음은 분수형(나누기) 역추적으로 같은 감각을 또 연습.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 76 — (a₁,a₂) 전수 탐색(패리티·a₆=6·짝수 1개) → 합=76 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

6단계 🔴 2503 21번 · 2025학년도 3월 학평 정답률 20% 정복

🔴 분수형 귀납 — a₆=2 역추적

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① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

거꾸로. a₆=2 ⇐ a₅=10(=a₅/5) ⇐ a₄∈{a₄<3}∪{40} ⇐ a₃∈[3,9)∪{120} ⇐ a₂∈[6,18)∪{240} ⇐ a₁∈{1,2}∪{6,7,…,17}∪{240}. 합=(1+2)+(6+…+17)+240=3+138+240=381.
→ 정답 381 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• a₆=2를 만드는 직전 항(a₅=10)을 모두 찾았나?
• '10' 분기와 '나누기' 분기를 둘 다 고려했나?
• 중간 항이 정수가 아니어도 됨(첫째항만 자연수)을 알았나?

③ 추가 질문

• a_{n+1}=10이 되는 조건은? (a_n<3) 거꾸로 a_n 범위는?
• 구간 [6,18) 같은 '범위 해'를 빠짐없이 셌나?

④ 단계 전이 — 다음으로

역추적 2제. 다음은 실수 수열에서 a₃=a₅(주기점) 역추적.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 381 — a₁ 전수 탐색으로 a₆=2 만족 → 합=381 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

7단계 🔴 2505 22번 · 2025학년도 5월 학평 정답률 13% 정복

🔴 실수 수열 — a₃=a₅ (주기점)

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

T(a)=a²(a≤0), −2a+3(a>0). a₁a₂>0에서 a₁<0이면 a₂=a₁²>0이라 곱<0 모순 → 0<a₁<3/2. a₃=4a₁−3. a₃=a₅(=주기≤2 조건)를 a₃의 부호·크기로 경우분석 → a₁∈{3/8, 3/4, 1, 21/16}. 합=55/16 → p=16,q=55, p+q=71.
→ 정답 55/16 → p+q=71 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• a₁a₂>0(부호 동일)에서 a₁>0임을 끌어냈나?
• a₃=a₅를 'a₃가 T∘T의 고정점(주기≤2)'으로 봤나?
• a₃의 부호로 경우를 빠짐없이 나눴나?

③ 추가 질문

• a₁<0이 불가능한 이유는? (a₂=a₁²>0 → 곱<0)
• a₃=a₅이면 a₃는 T∘T의 무엇? (고정점)

④ 단계 전이 — 다음으로

실수 주기점 역추적까지 연습했다. 다음은 절댓값·주기 정수 수열.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 55/16 → p+q=71 — 분기별 정확해 {3/8,3/4,1,21/16} → 합 55/16, p+q=71 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

8단계 🔴 2411 22번 · 2024학년도 11월 수능대비 정답률 13% 정복

🔴 절댓값·주기 — 최소 m=3

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① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

전 수열이 a₁로 결정됨(f: |a_n| 홀→a_n−3, 짝/0→½a_n). 조건 '최소 m=3'을 |a₃|=|a₅|, |a₁|≠|a₃|, |a₂|≠|a₄|로 번역해 정수 a₁ 탐색 → a₁∈{6,7,8,10,−9,−24}. Σ|a₁|=6+7+8+10+9+24=64. (예: a₁=−24 → −24,−12,−6,−3,−6 → |a₃|=|a₅|=6 ✔, m=1,2는 불성립 ✔)
→ 정답 64 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• '최소 m=3'을 세 조건(|a₁|≠|a₃|, |a₂|≠|a₄|, |a₃|=|a₅|)으로 번역했나?
• 음수 a₁도 빠짐없이 탐색했나?
• |a_n|의 주기적 거동을 추적했나?

③ 추가 질문

• m=1,2가 성립하면 안 되는 이유는? (최소가 3이라서)
• f를 거듭 적용하면 값이 어디로 수렴·순환하나?

④ 단계 전이 — 다음으로

패리티·주기를 정복했다. 마지막은 등차수열 절댓값 합 종합 킬러.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 64 — 정수 a₁ 전수 탐색(최소 m=3) → Σ|a₁|=64 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

9단계 🔴 2204 21번 · 2022학년도 4월 학평 정답률 10% 정복

🔴 등차수열 — 절댓값 합 [목표]

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

a_{2m}=−a_m → a_m=−md/2, 0을 중심으로 대칭. a_n≠0이려면 m은 홀수(중앙항이 0이 되는 것 회피). Σ_{k=m}^{2m}|a_k|=d·((m+1)/2)²=128=2⁷. p=(m+1)/2 정수 → d·p²=128 → (d,p)∈{(128,1),(32,2),(8,4),(2,8)}. 모든 d 합=128+32+8+2=170.
→ 정답 170 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• a_{2m}=−a_m로 a_m=−md/2(0 중심 대칭)을 끌어냈나?
• a_n≠0 조건에서 m이 홀수여야 함을 봤나?
• Σ|a_k|를 d·((m+1)/2)²로 정리했나?

③ 추가 질문

• 등차수열에서 a_{2m}=−a_m이면 a_m은? (−md/2)
• 중앙항이 0이 되지 않으려면 항의 개수(m+1)는? (홀수항 → m 홀수)

④ 단계 전이 — 다음으로

🎉 ∑·귀납·패리티·역추적·등차 절댓값까지 — 수열 단답 킬러의 모든 무기를 갖췄다!

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 170 — (d,m) 전수 탐색으로 Σ|aₖ|=128 → 모든 d 합=170 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

수학 공통 사다리 · 수열 · 2026-07-01 / 고3 기출(미적 시험지 공통문항) · 정답·정답률·출제의도 AnswerKey master(2103~2605) 대조 · 풀이 신규 작성+정답 검증 / jpg 정본