🪜 수학 공통 사다리 — 삼각함수 + 도형5단계

핵심 정리 (먼저 읽기)

핵심 1) 사인법칙: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R. 변·각·외접원을 한 번에 잇는다. 핵심 2) 코사인법칙: a²=b²+c²−2bc cosA — 두 변과 낀각, 또는 세 변에서 각을 구한다. 한 점에서 만나는 두 삼각형은 보각(cos 부호 반대)을 활용. 핵심 3) 원 내접: 같은 호의 원주각은 같다 → 닮은 삼각형. 두 현이 만나면 방멱 FA·FD=FB·FC. 지름에 대한 원주각=90°. 핵심 4) 호의 중점 D(∠A 이등분선과 외접원 교점)는 DB=DC, 수선의 발 사이 AE=(AB+AC)/2 같은 강력한 결과. 핵심 5) 좌표화도 자주 통한다. 자주 틀리는 함정 ① 보각의 cos 부호(−) 누락 ② 사인법칙의 2R를 빼먹고 R로 씀 ③ 방멱·지름 직각 같은 원의 성질을 안 씀 ④ 닮음비의 대응변 혼동.

사다리 (1단계 → 5단계)

1단계 🟢 2509 20번 · 2025학년도 9월 모평 정답률 87% 정복

🟢 원 내접 사각형 + 사인법칙 (디딤돌)

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

코사인법칙 cosθ=6/7 → sinθ=√13/7. 원에 내접 → 삼각형 BPC ∽ 삼각형 DPA. PB:PD=7k:(5k+3l), 닮음으로 풀면 l=3k → (가)p=3, PB:PD=7k:14k=1:2 → (나)q=2, BC=½·AD=2√13. R=BC/(2sinθ)=2√13/(2·√13/7)=7 → (다)r=7. p+q+r=12.
→ 정답 p+q+r = 12 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• 코사인법칙으로 cosθ→sinθ를 구했나?
• 원 내접에서 삼각형 BPC∽DPA(같은 호의 원주각)를 봤나?
• 외접원 반지름은 사인법칙 R=BC/(2sinθ)로 구했나?

③ 추가 질문

• a/sinA=? (2R)
• 원에 내접한 사각형에서 PB·PA=PC·PD 같은 관계의 근거는? (닮음/방멱)

④ 단계 전이 — 다음으로

사인법칙·닮음의 기본을 잡았다. 다음은 변의 내분 + 외접원 넓이.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 p+q+r = 12 — 닮음·사인법칙 재계산 → p+q+r=12 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

2단계 🟡 2503 20번 · 2025학년도 3월 학평 정답률 56% 정복

🟡 변의 내분 + 외접원 넓이 (디딤돌)

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

∠ADC=π−θ(보각, cos 부호 반대). 두 삼각형 코사인법칙: 4m²=2+9s²−3s, m²=2+s²+s → 5s²−7s−6=0 → s=2, m²=8. AB=4√2, BD=6, AD=√2, sinθ=√14/4. 외접원 R=AB/(2sinθ)=8/√7 → R²=64/7 → 넓이=64π/7. p=7,q=64 → p+q=71.
→ 정답 p+q = 71 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• ∠ADB와 ∠ADC가 보각(cos 부호 반대)임을 썼나?
• 두 삼각형에 코사인법칙을 세워 s를 구했나?
• 외접원 넓이는 R=AB/(2sinθ)로 구했나?

③ 추가 질문

• 한 직선 위의 이웃각의 cos는? (부호 반대)
• 외접원 넓이 πR²에서 R은 무엇으로? (사인법칙)

④ 단계 전이 — 다음으로

기본기를 잡았다. 여기서부터는 변별·킬러 — 도형을 좌표·원의 성질로 공략한다.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 p+q = 71 — 코사인법칙 연립 s=2 → 외접원 넓이 64π/7 → p+q=71 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

3단계 🟠 2304 21번 · 2023학년도 4월 학평 정답률 31% 정복

🟠 좌표 + 코사인법칙 사각형

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

삼각형 OPA에 코사인법칙: cos(∠OPA)=√15/4 → OP²−15OP+56=0 → OP=8, OQ=7(OP>OQ). 좌표로 P=(2,2√15), Q=(−7/4, 7√15/4). 사각형 OAPQ 신발끈 → 넓이=11√15/2. p=2,q=11 → p×q=22.
→ 정답 p×q = 22 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• cos(∠OPA)로 삼각형 OPA에 코사인법칙을 세웠나?
• OP, OQ를 이차방정식의 두 근으로 구하고 OP>OQ로 배정했나?
• P,Q 좌표를 구해 신발끈으로 넓이를 냈나?

③ 추가 질문

• cos값이 주어진 각이 변의 대각이 아니면? (코사인법칙으로 변 방정식)
• 사각형 넓이를 좌표로 구하는 공식은? (신발끈)

④ 단계 전이 — 다음으로

좌표+코사인법칙을 연습했다. 다음은 원의 두 지름·방멱.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 p×q = 22 — sympy: 좌표+신발끈 넓이 → p×q=22 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

4단계 🟠 2310 21번 · 2023학년도 10월 학평 정답률 30% 정복

🟠 두 지름 + 방멱(교현)

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

BC=DE=4=지름 → 둘 다 지름(중심 지남). sin(∠CAE)=CE/(2R)=1/4 → CE=1=BF. 방멱 FB·FC=FA·FD=1·3=3. 좌표(중심 원점)로 A=(½, √15/2), F=(−1,0) → AF=√6 → k²=6.
→ 정답 k² = 6 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• DE=4=지름임을 알아채 '둘 다 지름'을 썼나?
• sin(∠CAE)=CE/(2R)로 CE를 구했나?
• 방멱(교현 정리) FB·FC=FA·FD를 적용했나?

③ 추가 질문

• 지름에 대한 원주각은? (90°)
• 두 현이 점 F에서 만나면? (FA·FD=FB·FC)

④ 단계 전이 — 다음으로

원의 지름·방멱을 다뤘다. 마지막은 각이등분선·외접원·수선의 발 종합 킬러.

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 k² = 6 — 방멱 FB·FC=FA·FD + 좌표로 k²=6 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

5단계 🔴 2110 21번 · 2021학년도 10월 학평 정답률 19% 정복

🔴 각이등분선·외접원·수선의 발 [목표]

먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )

① 자세한 해설 (풀이 → 정답)

D=∠A 이등분선과 외접원의 교점=호 BC의 중점 → DB=DC, D는 AB·AC에서 등거리. DE⊥AC, DF⊥AB라 하면 직각삼각형 DEC≅DFB(DB=DC, DE=DF) → CE=BF, 그리고 AE=AF. 따라서 AE=(AB+AC)/2=(6+8)/2=7=k. 12k=84.
→ 정답 12k = 84 (공식 정답표 대조 완료)

② 사고 흐름 점검

• D가 호 BC의 중점(DB=DC)임을 봤나?
• DE⊥AC, DF⊥AB의 두 직각삼각형 합동(CE=BF, AE=AF)을 썼나?
• AE=(AB+AC)/2 결과로 이었나?

③ 추가 질문

• ∠A 이등분선과 외접원의 교점 D는 호의? (중점 → DB=DC)
• 호 중점에서 두 변에 내린 수선의 발 사이 AE는? ((b+c)/2)

④ 단계 전이 — 다음으로

🎉 사인·코사인법칙·외접원·방멱·각이등분선까지 — 삼각함수+도형 킬러 완전 정복!

⑤ 검산·크로스체크 ✅

정답 12k = 84 — 호중점 성질 AE=(AB+AC)/2=7 → 12k=84 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.

수학 공통 사다리 · 삼각함수+도형(사인·코사인법칙) · 2026-07-01 / 고3 기출(미적 시험지 공통문항) · 정답·정답률·출제의도 AnswerKey master 대조(풀이 신규 작성+정답 검증) / jpg 정본