이 한 세트로 공통 21·22번의 '지수·로그 그래프' 변별·킬러를 정복합니다. 1단계(쉬움)→9단계(킬러)로, 같은 아이디어의 기출을 정답률 순(쉬움→어려움)으로 세워 디딤돌을 만듭니다. 각 단계에 자세한 풀이·사고 흐름·추가 질문. 핵심 무기: 지수↔로그는 서로 역함수(y=x 대칭) — 기울기 −1 직선·대칭이동은 'y=x 대칭'이 핵심. 점근선 위치 고정(지수 y=상수, 로그 x=상수), 그래프 위 점을 (x,함숫값)으로 좌표화해 도형(넓이·중점·기울기)으로 환원.
🪜 정복 진도0 / 9 단계
단계마다 '정복' 체크 → 진도 상승
핵심 정리 (먼저 읽기)
핵심 1) 역함수·대칭: y=aˣ와 y=log_a x는 y=x에 대칭. '점을 y=x에 대칭이동', '기울기 −1 직선'이 나오면 y=x 대칭을 의심하라. 핵심 2) 점근선: y=aˣ+c의 점근선은 y=c, y=log_a x의 점근선은 x=0. 도형의 한 변·꼭짓점이 점근선에 붙는 경우가 많다. 핵심 3) 좌표화: 곡선 위 점은 (t, f(t))로 두고, 거리·넓이·중점·기울기를 식으로. 핵심 4) 절댓값·조각함수는 V자형으로 근의 개수를 세고, '치역 일치'로 조건을 번역. 자주 틀리는 함정 ① 점근선 무시 ② y=x 대칭을 못 보고 좌표로 무식하게 풂 ③ 절댓값 그래프의 근 개수(꺾이는 점) 누락 ④ 밑 a의 범위(>1) 조건 빠뜨림.
사다리 (1단계 → 9단계)
1단계 🟢 2511 10번 · 2025학년도 수능 정답률 91%
🟢 지수 그래프 + 점근선
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
A=(t, aᵗ−2)(제1사분면→aᵗ>2). 수직선이 x축과 만나는 B=(t,0), 점근선 y=−2와 만나는 C=(t,−2). AB=aᵗ−2, BC=2, AB=BC → aᵗ=4. 삼각형 AOC: 밑변 AC=4(x=t에서 y=2~−2), 높이=t → 넓이=½·4·t=2t=8 → t=4. a⁴=4 → a=2^{1/2}. OB=t=4 → a×OB=√2·4=2^{5/2}. → 정답 ③ 2^(5/2) (공식 정답표 대조 완료)
② 사고 흐름 점검
곡선 y=aˣ−2의 점근선이 y=−2임을 썼나?
AB=BC를 aᵗ−2=2로 옮겼나?
삼각형 AOC의 밑변(세로 AC)과 높이(가로 t)를 바르게 잡았나?
③ 추가 질문
y=aˣ−2의 점근선은? (y=−2)
제1사분면 조건은 무엇을 강제하나? (aᵗ>2)
④ 단계 전이 — 다음으로
점근선·좌표화의 기본을 잡았다. 다음은 절댓값으로 갈리는 그래프.
⑤ 검산·크로스체크 ✅
정답 ③ 2^(5/2) — sympy: a=√2, OB=4 → a×OB=2^(5/2) 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
2단계 🟡 2507 20번 · 2025학년도 7월 학평 정답률 54%
🟡 절댓값 분기 그래프 — 치역 일치
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
|x−4|/(x−4)=+1(x>4)/−1(x<4). x<4: g=2·2ˣ=2^{x+1} (치역 (0,32)), x>4: g=2f(x)=−2^{−x+a+1}+2b (치역 (−2^{a−3}+2b, 2b)). 모든 t에서 교점 0 또는 2 → 두 조각의 치역이 정확히 일치: 2b=32→b=16, −2^{a−3}+2b=0→a=8. g(6)=2f(6)=2(−2²+16)=24. → 정답 24 (공식 정답표 대조 완료)
② 사고 흐름 점검
|x−4|/(x−4)를 x>4, x<4로 나눠 g를 두 식으로 만들었나?
'모든 t에 0 또는 2개'를 '두 조각 치역 일치'로 번역했나?
각 조각의 치역(양 끝값)을 정확히 구했나?
③ 추가 질문
교점이 항상 0 또는 2개이려면 두 조각의 치역은? (동일)
g(6)은 어느 조각? (x>4 → 2f)
④ 단계 전이 — 다음으로
조각함수의 치역 다루기를 익혔다. 다음은 역함수 대칭이 핵심인 그래프.
⑤ 검산·크로스체크 ✅
정답 24 — 두 조각 치역 일치 조건으로 a=8,b=16 → g(6)=24 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
3단계 🟡 2403 21번 · 2024학년도 3월 학평 정답률 47%
🟡 지수·로그 그래프 + 원 (기울기 −1)
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
A=(α,−α+k) on y=aˣ+2, B on y=log_a x+2, 직선 기울기 −1. 넓이 121π/2 → r=11/√2 → |AB|=11√2 → |Δx|=11 → β=α+11. 중심의 y좌표 19/2 조건을 정리하면 aᵅ=13. 역함수(y=x) 대칭으로 log_a(α+11)=aᵅ−11=2 → α+11=a² → α=a²−11. a^{a²−11}=13에 a²=13 대입 → a²=13 성립. a²=13. (검산 A=(2,15),B=(13,4),중점 y=19/2,|AB|=11√2 ✓) → 정답 a² = 13 (공식 정답표 대조 완료)
② 사고 흐름 점검
원의 넓이로 지름 |AB|=11√2를 얻고 기울기 −1로 Δx=11을 구했나?
y=aˣ+2와 y=log_a x+2의 역함수 대칭을 이용했나?
중심의 y좌표 조건을 식으로 옮겼나?
③ 추가 질문
기울기 −1은 y=x와 어떤 관계? (수직)
원의 넓이 → 반지름 → 지름(=AB) 흐름을 썼나?
④ 단계 전이 — 다음으로
역함수 대칭의 위력을 봤다. 다음은 절댓값 로그 그래프의 근의 합 관리.
⑤ 검산·크로스체크 ✅
정답 a² = 13 — sympy: a²=13이 a^(a²−11)=13 만족 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
4단계 🟠 2407 21번 · 2024학년도 7월 학평 정답률 36%
🟠 로그 그래프 + 절댓값 — g(t)가 일정
먼저 스스로 풀기 → 내 답: ( )
① 자세한 해설 (풀이 → 정답)
x>0: 5log₂x+m (치역 전체 ℝ, 임의 t에 근 1개 x_R). x≤0: |5log₂(4−x)+m| — x=0에서 |10+m|, 0까지 내려갔다 ∞로(V자). t≥|10+m|이면 좌측 근 1개(x→−∞쪽)이고 x_R+x_{L1}=2^{(t−m)/5}+(4−2^{(t−m)/5})=4(일정). t<|10+m|이면 근이 더 생겨 g 변동. 따라서 g가 일정해지는 최소 a=|10+m|=2 → m=−12. f(m)=f(−12)=|5log₂16−12|=|20−12|=8. → 정답 f(m) = 8 (공식 정답표 대조 완료)
② 사고 흐름 점검
x>0 조각은 임의의 t에 근이 1개임을 봤나?
x≤0 조각의 |·|를 V자형으로 보고 근 개수를 t로 관리했나?
g(t)가 4로 일정해지는 t 구간을 찾아 최소 a=2와 연결했나?
③ 추가 질문
두 근의 합이 4로 일정해지는 이유는? (2^{(t−m)/5}와 4−2^{(t−m)/5}의 상쇄)
m을 구한 뒤 f(m)은 어느 조각으로 계산? (m≤0 → x≤0 조각)
④ 단계 전이 — 다음으로
근의 개수·합을 그래프로 통제했다. 다음은 지수 그래프 + 수직(직각삼각형).
⑤ 검산·크로스체크 ✅
정답 f(m) = 8 — 두 근의 합 4 일정 → a=|10+m|=2 → f(m)=8 재확인. 단답형이라 코드로 독립 재계산(수열=전수 시뮬레이션 / 미적분·도형=sympy 재구성)해 정답표와 이중 대조했습니다.
